황금비 시리즈 (3) 피보나치수열에 들어있는 황금비 (순한맛)

 

 

피보나치 수열은 아래 점화식이 성립하는 수열입니다. 

 

$F_{0}=0,F_{1}=1$

 

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

 

몇개의 항을 써보면 아래와 같습니다. 

 

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...

 

피보나치 수열의 두 항의 비율을 아래와 같이 정의하겠습니다. 

 

$R_{n}=\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$

 

예를 들면 아래와 같습니다. 

 

$R_{1}=\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{1}{1}$

 

$R_{2}=\frac{F_{3}}{F_{2}}=\frac{2}{1}$

 

$R_{3}=\frac{F_{4}}{F_{3}}=\frac{3}{2}$

 

$R_{n}$ 도 또 하나의 수열이고, n이 무한대로 갈 때 $R_{n}$ 은 황금비로 수렴합니다. 증명해봅시다. 아래 등식에서 출발합니다. 

 

$R_{n+1}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}$

 

우변의 분자는 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

 

$R_{n+1}=\frac{F_{n+1}+F_{n}}{F_{n+1}}$

 

아래와 같이 분리해서 써줍시다. 

 

$R_{n+1}=1+\frac{F_{n}}{F_{n+1}}$

 

우변의 두번째 항을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$R_{n+1}=1+\frac{1}{\frac{F_{n+1}}{F_{n}}}$

 

우변의 두번째 항의 분모는 $R_{n}$과 같습니다. 

 

$R_{n+1}=1+\frac{1}{R_{n}}$

 

$R_{n}$이 수렴한다고 가정합시다. $R_{n}$의 수렴값을 L이라고 놓겠습니다. 위 수식의 양변에 극한을 취합시다. 

 

$\lim_{n\rightarrow  \infty}R_{n+1}=\lim_{n\rightarrow  \infty}\left ( 1+\frac{1}{R_{n}} \right )$

 

$R_{n}$ 이 수렴한다고 가정하였으므로, 우변을 아래와 같이 분리할 수 있습니다.

 

$\lim_{n\rightarrow  \infty}R_{n+1}=1+\lim_{n\rightarrow  \infty}\left (\frac{1}{R_{n}} \right )$

 

극한값은 L이라고 놓겠습니다. 

 

$L=1+\frac{1}{L}$

 

양변에 L을 곱해봅시다. 

 

$L^2=L+1$

 

좌변으로 이항합시다. 

 

$L^2-L-1=0$

 

근의공식을 적용합시다. 

 

$L=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

 

L은 두 양의 값의 비율이므로 양수입니다. 

 

$L=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}$

 

황금비입니다. 따라서 피보나치 수열의 두 항의 '비'의 극한값은 황금비가 됩니다. 

 

우리는 한가지 건너뛴 내용이 있습니다. $R_{n}$이 정말 수렴하는가 하는 내용입니다.  $R_{n}$의 수렴성을 증명해야 하는데요. 다음 시간에 이어가겠습니다.