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etc/쉬운 수학이야기105

아르키메데스 방법으로 파이 구하기 (1) 소개 파이를 구하는 방법은 여러가지가 있습니다. 그 중 파이계산의 고전 아르키메데스 방법을 소개하려고 합니다. 아르키메데스는 고대 그리스 사람인데, BC287~BC212 에 살았던 것으로 추정됩니다. 아르키메데스는 원에 내접하는 정n각형과, 원에 외접하는 정n각형을 이용하여 파이의 근사값을 구했습니다. 정육각형으로 예를들어봅시다. 위와 같이 반지름 1인 원에 내접하는 정육각형과 외접하는 정육각형이 있습니다. 원의 둘레의 길이는 내접하는 정육각형의 둘레의 길이와 외접하는 정육각형의 둘레의 길이의 사이값일 것입니다. 내접 정육각형 둘레 길이(L1) < 원의 둘레 길이 < 외접하는 정육각형 둘레 길이(L2) 여기서 원의 둘레 길이는 2π 이므로, 각 항을 2로 나누면 파이의 근사값을 구할 수가 있습니다. $\fra.. 2021. 2. 21.

A4 용지의 가로세로 비율의 비밀 A4용지의 가로세로 길이는 210mm와 297mm 입니다. 비율은 1.4142 입니다. 어떤 숫자가 떠오르시지 않나요? 네 맞습니다. 루트2 입니다. 루트2는 1.414213... 입니다. 나머지 용지들도 비율을 계산해보면 루트2와 비슷한 값들이 나옵니다. 반올림을 한 것을 감안하면 비율을 루트2로 의도적으로 설정한 것을 알 수 있습니다. 왜 그런걸까요? 지금부터 그 이유를 밝혀봅시다. 여러 사이즈의 종이를 만들어 팔고 싶은 회사의 목표는 아래와 같았을 것입니다. "서로 닮은 여러 사이즈의 종이를 만들되, 낭비는 최소화한다." 낭비를 최소화하려면 커다란 종이 하나를 만들고 반으로 잘라가며 다른 종이를 만들면 됩니다. 여기에 비율이 유지된다는 조건을 추가하면 됩니다. 반으로 접은 후에도 가로 세로 비율이 .. 2021. 2. 20.

엑셀로 로마숫자 변환하는 방법 (ROMAN function) 아래는 로마숫자 기본기호들입니다. I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 엑셀에는 숫자를 로마숫자로 변환해주는 함수가 존재합니다. ROMAN 이라는 함수입니다. 아래와 같은 형식으로 사용합니다. ROMAN(숫자,옵션) 옵션은 아래와 같습니다. 0 또는 생략 : 기본 스타일 1 : 간결한 스타일 2 : 더 간결한 스타일 3 : 더더 간결한 스타일 4 : 더더더 간결한 스타일 아래는 예시입니다. 2021. 2. 19.

로마숫자 읽는 법 (LXXXIX=59) 로마숫자는 몇가지 규칙만 이해하면 쉽게 읽을 수 있습니다. 1. 아래 일곱가지 기호를 조합하여 만듭니다. I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 2. 자릿수가 없습니다. 예를들어 30은 10을 세번 쓴 기호인 XXX 로 나타냅니다. 3. 감산표기법을 적용합니다. 큰 수 기호 앞에 작은 수 기호가 놓이면 큰 수에서 작은 수를 뺀 값이 됩니다. 이를 감산표기법이라고 합니다. 예를들어 IV 는 5-1 인 4이고, XL은 50-10인 40이 됩니다. 4. 문자에 줄을 그으면 1000배가 됩니다. 이 규칙을 이용해서 아래 숫자들을 읽어봅시다. (문자 위 줄은 괄호로 대신합니다.) XXV XXIX CCVII LXXVI XCVI MCMXVIII DCCLXXXIX (.. 2021. 2. 18.

파이 암기 대회 파이의 소수점 이하 수들을 누가 가장 많이 외웠는지 순위를 기록하는 사이트가 있습니다. 여러분들도 참가하실 수 있구요 뒷부분에서 참가방법을 말씀드리겠습니다. 구글에 pi world ranking 이라고 검색하시고 맨 위에 나오는 사이트에 들어갑니다. https://www.pi-world-ranking-list.com/ https://www.pi-world-ranking-list.com/ www.pi-world-ranking-list.com 탭에서 Lists 를 클릭하시고, 다시 나오는 노란탭에서 Pi-Ranking 을 클릭합니다. 순위가 나옵니다. 1등은 인도사람이구요. 무려 70030 자리를 외웠습니다. 2015년에 달성한 기록인데 아직 안깨졌네요. 무료 17시간 14분이나 걸렸습니다. 1~8위가 전부.. 2021. 2. 16.

로마숫자 1~100까지 써보기 (자릿수가 없다는 것) 로마숫자는 아래 7개의 숫자를 조합하여 만들어집니다. I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 로마숫자의 네가지 특징을 알아봅시다. 1) 로마숫자의 특징은 자릿수가 없습니다. 예를들어 321을 나타내려면 100을 세번 쓰고 10을 두번 1을 한번 써서 나타냅니다. 2) 감산표기법이 적용됩니다. 로마숫자에서는 큰 기본 수 앞에 작은 기본수가 놓이면 큰 수에서 작은 수를 뺀 값이 됩니다. 이를 감산표기법이라고 합니다. 예를들어 IV 는 5-1 인 4이고, XL은 50-10인 40이 됩니다. 3) 문자 위에 줄을 그으면 1000배가 됩니다. 4) 0이 없음. 로마숫자를 100까지 써보면서 자리수가 없다는게 얼마나 불편한지 느껴보고, 또 감산표기법이 어떻게 적용.. 2021. 2. 15.

파이(π)를 피아노로 연주해보기 파이로 음악을 만들어보았습니다. C Major 스케일을 사용했구요. 먼저 아래와 같이 숫자에 음을 붙였습니다. 0 - 도 1 - 레 2 - 미 3 - 파 4 - 솔 5 - 라 6 - 시 7,8,9 가 남는데요. C메이저 스케일의 다이아토닉 코드에서 마이너 코드은 Em 와 Am의 도미넌트 코드 B7과 E7에 나오는 음인 레#, 파#, 솔# 을 사용했습니다. 7 - 레# 8 - 파# 9 - 솔# 7~9는 한옥타브 위에서 연주하였습니다. 예를들어 3.1415926535897932384 2021. 2. 11.

BC와 AD는 알겠는데 BCE 와 CE 는 뭘까 BC와 AD는 다들 잘 알고 있을 겁니다. 예수그리스도의 탄생을 기준으로, 탄생 이전을 BC로 탄생이후를 AD로 정하였습니다. 그런데 계산을 잘못해서 실제 예수 탄생일은 BC4이라고 하는데, 정확한 예수 탄생일에 대해서는 여러 주장이 있는 것 같습니다. BC는 Before christ 의 약어입니다. christ 는 '그리스도'라도고 발음하는데요 구원자라는 뜻입니다. 여기서 말하는 구원자는 예수구요. 그래서 BC는 예수 이전이라는 뜻입니다. AD는 Anno donimi 약여인데, 여기서 Anno 는 '해,년' 이라는 뜻의 라틴어이고, domini 는 '주님의'라는 뜻입니다. 번역하면 '주님의 해' 입니다. 기독교에서는 예수가 세상을 다스린다고 믿기 때문에, 예수가 이땅에 온 이후를 '주님의 해'라고 부른.. 2021. 2. 11.

파이의 발견 파이는 어떻게 발견되었을까요? 타임머신을 타고 과거로 가보지 않는 이상 정확한 과정은 알 수 없습니다. 하지만 합리적인 추측은 가능합니다. 과거 어느 시기에 사람들은 닮음비를 발견했을 것입니다. 예를들어 정사각형은 그 크기가 달라도 밑변과 높이의 비가 1:1 인 것을 알게 되었을 것입니다. 가로가 2, 세로가 1인 직사각형도 모양을 유지하고 크기를 키우면 가로 세로 비가 2:1임을 알게 되었을 겁니다. 그들은 이런 결론을 내립니다. "비슷하게 생긴 도형들은 크기가 변해도 무언가 유지되는 비율이 존재한다." 이런 생각을 원에도 적용한 것입니다. 원은 크기가 달라도 모양이 전부 같으므로, 원에도 뭔가 유지되는 비율이 있지 않을까 생각하며 이런저런 값으로 비율찾기를 시도하던 중. 둘레를 지름으로 나눈 값이 원.. 2021. 2. 9.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (특별편) 오미크론 vs 오메가 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (특별편) 오미크론 vs 오메가 그리스어에는 24개의 알파벳이 있습니다. 영어의 '오' 발음을 하는 알파벳은 두개가 있는데요. 15번째 알파벳인 오미크론과 마지막 알파벳인 오메가입니다. 오미크론 대문자 Ο 오미크론 소문자 ο 오메가 대문자 Ω 오메가 소문자 ω 오미크론은 O+micron 입니다. 그리스어에서 μικρόν 은 '작은' 이라는 형용사입니다. 따라서 O micron 은 '작은 O' 라는 의미입니다. 오메가는 O+mega 입니다. 그리스어에서 μέγα 는 '큰' 이라는 형용사입니다. 따라서 O mega는 '큰 O' 라는 의미입니다. 크고 작음의 의미가 알.. 2021. 2. 4.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (특별편) 단어읽기 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (특별편) 단어읽기 수학에 사용되는 그리스어를 읽을 때 그 발음은 고대그리스어에 가깝기 때문에 고대그리스어로 단어들을 읽도록 하겠습니다. 그리스어 알파벳 소문자 대문자를 전부 배워보았습니다. 알파벳들을 더 익숙하게 만들겸 그리스어 단어 몇개를 배워봅시다. 영어의 발음과 비슷해서 이미 익숙한 단어들입니다. Αλφάβητο (알파비토) 알파벳 위 단어를 현대 그리스어로 읽으면 알파(fa)비(vi)또구요. 고대 그리스어로 읽으면 알파(fa)베토입니다. φιλία(필리아) 우정 θέμα(테마) 아래 놓인 것, 주제 χάρισμα(카리스마) 선물, 매력 κόσμος(코스모.. 2021. 2. 4.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (3편) 대문자 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (3편) 대문자 지난 시간까지 공부한 소문자는 아래와 같습니다. α 알파 β 베타 γ 감마 δ 델타 ε 엡실론 ζ 제타 η 에타 θ 쎄타 ι 요타 κ 카파 λ 람다 μ 뮤 ν 누 ξ 크사이(자이) ο 오미크론 π 파이 ρ 로 σ 시그마 τ 타우 υ 입실론 피 χ 카이 ψ 프사이 ω 오메가 소문자 앞에 대문자를 추가해봅시다. 영어 대문자와 모양이 동일한 알파벳부터 추가하겠습니다. 모양만 같지 발음은 다른 경우도 있습니다. Α α 알파 Β β 베타 γ 감마 δ 델타 Ε ε 엡실론 Z ζ 제타 Η η 에타 θ 쎄타 Ι ι 요타 Κ κ 카파 λ 람다 Μ μ 뮤 Ν ν 누.. 2021. 2. 2.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (2편) 나머지 소문자 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (2편) 나머지 소문자 지난시간에 우리가 이미 알고 있는 그리스어를 꺼낸 결과는 아래와 같습니다. 원주율 π 각도 θ 근 α β γ 허근 ω 표준편차 σ 밀도 ρ 파장 λ 모평균 μ 카이 χ (카이제곱분포) 입실론-델타 ε δ 카파 κ (의류 상표) 타우 τ (넷플릭스 오리지널 영화) 카이 χ (카이코코라는 핸드폰, LG텔레콤) 위에 있는 그리스어 알파벳을 순서대로 표에 채우면 아래와 같습니다. 그리스어 알파벳은 24개입니다. α β γ δ ε θ κ λ μ π ρ σ τ χ ω 나머지 알파벳을 채워봅시다. 엡실론 다음에 나오는 알파벳은 제타입니다. 영어 Z에 꼬.. 2021. 2. 1.

오일러 공식 유도 (테일러급수 이용) 오일러가 발견한 오일러공식을 유도해봅시다. 파인만은 이 공식을 보석이다, 수학분야에서 가장 놀라운 공식이다 라고 표현했습니다. 그도 그럴것이, 이 공식은 수학,물리학,공학의 다양한 분야에서 사용됩니다. 제 경우는 학부시절 동역학(Dynamics) 수업에서 이 공식을 처음 접했습니다. 이름에서 알 수 있듯, 레온하르트 오일러가 유도했습니다. 오일러는 스위스 수학자이며, 베르누이의 제자입니다. 테일러급수를 이용한 유도 테일러 급수의 일반형은 아래와 같습니다. 테일러 급수까지 유도하지는 않겠습니다. $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^{2}+\cdots $ 테일러급수에서 a에 0을 넣은 형태.. 2021. 1. 30.

오일러 공식 유도 (복소평면과 미분을 이용) 복소평면과 미분을 이용한 유도 노벨 물리학상 수상자이자 20세기 최고의 물리학자인 리차드 파인만이 "수학에서 가장 리마커블한 공식" 이라고 칭한 오일러 공식을 유도해봅시다. 복소수는 복소평면에 나타낼 수 있습니다. 크기가 1인 복소수를 극좌표로 나타내면 아래와 같습니다. $cos(x)+isin(x)$ 이 값을 함수 $f(x)$ 라고 놓겠습니다. $f(x)=cos(x)+isin(x)$ 양변을 $x$로 미분합시다. $f'(x)=-sin(x)+icos(x)$ -1은 $i^{2}$ 이므로 아래와 같이 바꿔줍니다. $f'(x)=i^{2}sin(x)+icos(x)$ 우변을 i로 묶어줍니다. $f'(x)=i\left ( isin(x)+cos(x) \right )$ 우변의 괄호 안의 항은 f(x)입니다. $f'(x)=.. 2021. 1. 30.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (1편) 이미 아는거 꺼내보기 목차 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (1편) 이미 아는거 꺼내보기 그리스어 알파벳 대소문자는 수학, 물리학 등에서 자주 등장하는데요. 그리스어 대소문자를 설명하는 영상입니다. 이 영상에서 나오는 발음들은 그리스어를 영어로 읽은 발음입니다. 우리에게 익숙한 발음이에요. 예를 들어 베타는 현대 그리스어로 발음하면 비따입니다. 이 영상에서는 베타라고 부르겠습니다. 파이도 현대 그리스어로 발음하면 삐인데 파이라고 부르겠습니다. 세 편으로 나눴습니다. 1) 일단 소문자 아는거 다 꺼내보자 2) 나머지 소문자 3) 대문자 오늘은 1편입니다. 일단 그리스어 소문자 아는거 전부 꺼내봅시다. 우리는 생각보다 .. 2021. 1. 29.

등호의 탄생과 그 의미 등호는 로버트 레코드(Robert Recorde) 라는 영국사람이 처음 만들어 사용했다. 약 1512년경에 출생한 로버트는 40대에 이라는 책을 출간한다. 이 책은 영국 최초의 대수학책이라고 한다. 이 책에서 등호가 처음 사용되었다. 등호는 "이 두 선만큼 같은건 없다"라는 의미로 착안했다고 한다. 평행한 두 선을 보며 등호기호를 떠올린 것이다. 2021. 1. 28.

근의 공식 유도 스피드 솔루션 근의공식의 일반적인 유도과정은 아래와 같습니다. Step1) 이차방정식의 일반형 $ax^{2}+bx+c=0$ Step2) 1,2차항을 a로 묶어줌 $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x \right )+c=0$ Step3) 완전제곱식을 만들기 위해 1차항 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼줌 $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x + \left ( \frac{b}{2a} \right)^{2} - \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} \right )+c=0$ Step4) 완전제곱식이 될 항만 남기고 괄호 밖으로 꺼냄 $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} \right )- \frac{b.. 2021. 1. 27.

성경에 나오는 파이(π) 구약성경의 열한번째 책인 열왕기상에는 아래와 같은 구절이 등장합니다. 그 다음에 후람은 놋쇠를 부어서 바다 모양 물통을 만들었는데, 그 바다 모양 물통은, 지름이 열 자, 높이가 다섯 자, 둘레가 서른 자이고, 둥근 모양을 한 물통이었다. (열왕기상 7장 23절) 여기서 한 자는 30.4cm라고 합니다. 둥근 모양의 물통이라는 것을 보니 형상이 원기둥인 것 같습니다. 지름, 높이, 둘레는 아래와 같습니다. 지름 : 10자 높이 : 5자 둘레 : 30자 파이는 (원 둘레)/(지름) 입니다. 성경에 나온 값으로 파이를 계산해보면 3이 됩니다. 열왕기상은 기원전 560~540년 사이에 기록된 것으로 알려져 있습니다. 2021. 1. 26.

bit와 byte의 차이 평생 기억하기 (비트와 바이트) 우리는 컴퓨터가 0과 1로 모든 작업을 처리한다는 것을 알고 있습니다. 0과 1만을 이용하는 수체계를 이진법이라고 합니다. 컴퓨터가 이진법을 사용하는 이유는 '효율적'이기 때문입니다. 이진법을 이용하면 전선 한가닥으로 모든 수체계를 표현할 수 있습니다. 전류가 흐른다를 1, 흐르지 않는다를 0으로 놓으면 됩니다. 따라서 컴퓨터가 다루는 정보의 가장 작은 단위는 0 또는 1 이라는 이진법 한자리수입니다. 이 단위는 비트(bit)일까요 바이트(byte)일까요? 컴퓨터를 잘 알지 못하는 사람들에게는 자주 헷갈리는 용어입니다. 헷갈리지 않도록 뇌에 각인시켜봅시다. 컴퓨터가 정보를 처리하는 가장 작은 단위는 이진수입니다. 0 또는 1이죠. 이진수를 영어로 binary digit 이라고 합니다. binary 는 '.. 2021. 1. 26.

OBS 싱크 맞추기, frame -> ms 변환 (30fps, 60fps) OBS로 유튜브 스트리밍을 할 때 싱크 문제가 발생할 수 있습니다. 먼저 유튜브 스트리밍을 하는 간단한 상황을 설정해봅시다. 노트북에 OBS 를 설치하고 유튜브 스트리밍을 할 것입니다. 영상은 스마트폰을 캠으로 이용할 수 있는 프로그램으로 스마트폰에서 영상신호를 받고, 노트북에 마이크를 하나 연결하여 음성신호를 받을 것입니다. 영상과 음성의 싱크가 안맞는 문제를 해결하기 위해 OBS에서 녹화를 하나 하겠습니다. 박수를 치는 영상을 녹화합니다. 영상에는 손이 나와야합니다. 녹화된 영상을 영상편집 프로그램으로 불러옵니다. 음성에서 박수소리가 시작되는 부분과 영상에서 손이 붙는 부분이 몇 frame 차이나는지 확인합니다. 아래 경우는 7 frame이 차이납니다. 영상이 음성보다 7frame 만큼 느린 것입니다.. 2021. 1. 24.

소수(prime number)의 개수는 무한할까? 여기서 말하는 소수는 0.1, 0.12 등의 소수가 아니라 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수입니다. 2,3,5,7 등이 있습니다. 예를 들어 6은 1뿐만 아니라 2와 3을 약수로 갖기 때문에 소수가 아닙니다. 1보다 큰 수 중에서 소수가 아닌 수는 '합성수'라고 부릅니다. 1은 소수도 아니고 합성수도 아닙니다. 소수들을 합성해서 만들었다 뭐 그런 뜻인 것 같습니다. 합성수를 소수들의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 합니다. 소수는 마치 자연수의 '기본입자'같은 역할입니다. 소수는 더 이상 쪼개지지 않습니다. 모든 합성수는 소인수분해가 가능할까요? 먼저 이 문장을 증명합시다. 소인수분해가 불가능한 작은 합성수를 n이라고 합시다. 소수가 아니므로 1과 자기자신 이외의 약수를 갖습니다. 이.. 2021. 1. 23.

두 유리수 사이에는 무리수가 항상 있을까? 서로 다른 두 유리수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는 것은 a+b/2 가 유리수이므로 쉽게 보일 수 있습니다. 문득 궁금해졌습니다. 서로 다른 두 유리수 사이에 항상 무리수가 존재할까요? 서로 다른 두 유리수를 a,b라고 합시다. b가 a보다 크다고 놓겠습니다. a 2021. 1. 22.

로마 숫자 죽을때 까지 기억하는 법 로마숫자는 고대 로마에서 쓰던 수입니다. 아라비아 숫자에 밀려서 현재는 일상에서 사용하지 않지만 시계나 목차등에는 여전히 사용됩니다. 로마숫자는 손가락을 본 떠서 만들었습니다. 1,2,3,4까지는 손가락을 하나씩 펴면서 만들어집니다. I II III IIII 5는 조금 특별합니다. 손가락을 다 펴보면 V모양이 됩니다. 따라서 5는 V로 나타내기로 하였습니다. I II III IIII V 6,7,8,9는 5에서 오른쪽에 1,2,3,4를 추가하여 만들어집니다. 오른쪽은 5에서 더 큰쪽으로 나아간다는 의미입니다. VI VII VIII VIIII 10은 5를 나타내는 V 두 개를 위 아래로 붙여서 X로 나타냅니다. 1~10까지의 로마 숫자가 완성됐습니다. I II III IIII V VI VII VIII VII.. 2021. 1. 21.

수학에서 닫혀있다가 뭔가요? (수의 사칙연산과 닫혀있다) 일상적으로 '닫혀있다'라는 말을 들으면, 아래 사진과 같은 경우를 상상합니다. 이 사진처럼 방의 모든 문이 닫혀있다면, 방에서 무슨일이 벌어져도 그 결과가 방 안에 있을 겁니다. 수학적으로 닫혀있다는 의미도 이와 유사합니다. 수학에서 닫혀있다는 것은 집합이 연산에 대해 닫혀있다는 것을 의미합니다. 어떤 집합의 원소들 사이의 연산결과가 여전히 이 집합의 원소일 때 닫혀있다고 말합니다. '닫혀있다'의 예시를 살펴봅시다. 우리가 알고 있는 수는 자연수,정수,유리수,무리수,실수,복소수라는 6개의 수이고, 대표적인 연산인 사칙연산은 4개입니다. 따라서 닫혀있다를 확인해야하는 경우의 수는 24가지 입니다. 표로 만들어봅시다. + - X / 자연수 O X O X 정수 O O O X 유리수 O O O O 무리수 X X.. 2021. 1. 18.

유리수 세는 법 다른 글에서 수학에서의 '셀 수 있다' 와 우리가 일반적으로 알고 있는 '셀 수 있다'가 다르다는 것을 다뤘습니다. 수학에서 '셀 수 있다'는 것은 번호를 붙여서 셀 수 있다는 것을 의미했습니다. 자연수집합의 원소의 개수는 무한하지만 자연수는 '하나' '둘' '셋' 과 같이 모든 원소에 번호를 붙이는 것이 가능하기 때문에 셀 수 있는 것입니다. 유리수도 셀 수 있는데요. 유리수를 셀 수 있다는 것은 잘 와닿지 않을 것입니다. 유리수와 유리수 사이에 무수히 많은 유리수가 존재하기 때문입니다. 유리수는 자연수처럼 크기 순서대로 셀 수는 없습니다. 예를들어 유리수 1부터 세기 시작한다면, 1 다음의 유리수를 정할 수 없기 때문입니다. 1.1일까요. 그럼 1.01은요. 1.001은요? 따라서 유리수에 전부 번호.. 2021. 1. 15.

0.999...=1 의 나름 엄밀한 증명 (2편) 0.999...=1 을 증명하고 있습니다. 이번 글은 2편입니다. 1) 등식 유도부터 다시, 증명의 방향성 2) 유리수의 조밀함 3) 유리수의 빈틈 4) 실수의 완비성 5) 엡실론 델타법 조밀함은 영어 dense를 번역한 것입니다. 수학에서 조밀하다는 것은 우리가 흔히 사용하는 조밀하다와 다릅니다. 여기 고양이 사진이 있습니다. 누군가 "고양이 털은 조밀해?" 라고 물어본다면 아마 그렇다고 대답할 것입니다. 일상적으로는 틀린 말이 아닙니다. 이정도면 조밀한거죠. 하지만 수학에서의 조밀함을 적용하면 이야기가 달라집니다. 고양이 털이 수학적으로 조밀하려면, 임의의 두 털 A와 B를 잡았을 때 두 털 사이에 또 다른 털이 C가 있어야 합니다. 그 또다른 털 C와 A 사이에도 또다른 털이 있어야 하고 이런 상태.. 2021. 1. 15.

0.999...=1 의 나름 자세한 증명 (1편) 지난 글에서는 0.999...=1의 다양한 증명방법을 알아보았는데요. 엄밀한 방법들은 아닙니다. 앞으로 나름 엄밀하게 증명해보도록 하겠습니다. 아무나 이해할 수 있도록 생소할 수 있는 전공용어들은 최대한 사용하지 않을 것이며, 어쩔 수 없이 등장하는 용어의 정의는 최대한 쉽게 설명할 것입니다. 수학을 전공하신 분들이 보기엔 어이가 없을 수도 있는데, 비전공자 일반인을 타겟으로 쓴 글입니다. 내용이 길어서 다섯개의 글로 나눠서 설명하겠습니다. 1) 등식 유도부터 다시, 증명의 방향성 2) 유리수의 조밀함(2005년 임용고시 기출) 3) 유리수의 빈틈 4) 실수의 완비성 5) 엡실론 델타법 등식 유도부터 다시 지난 글의 4번째 방법에서 엄밀하지 않은 부분을 먼저 알아봅시다. $$0.9_{(n)}+\frac{.. 2021. 1. 15.

0.999...=1 다양한 증명 0.999...=1 의 다양한 증명 방법을 알아보도록 하겠습니다. 0.999... 는 1에 가까워지는 수가 아닌 1입니다. 1) 대수적 방법 0.999...를 x라고 놓겠습니다. $$x=0.9999....$$ x에 10을 곱합니다. $$10x=9.999...$$ 이 식에서 원래 식을 뺍니다. $$9x=9$$ 양변을 9로 나눠줍니다. $$x=1$$ 따라서 아래 등식이 성립합니다. $$0.999...=1$$ 2) 무한소수들의 합 이용1 $\frac{1}{3}$을 무한소수로 표현하면 아래와 같습니다. $$\frac{1}{3}=0.333...$$ 양변에 3을 곱합시다. $$1=0.999...$$ 3) 무한소수들의 합 이용2 $\frac{1}{11}$을 무한소수로 표현하면 아래와 같습니다. $$\frac{1}{1.. 2021. 1. 15.

무리수+유리수는 무엇일까? 한 중학생분께서 댓글로 질문을 주셨습니다. "무리수 더하기 유리수는 무리수인가요?" 라는 질문이었습니다. 중학생이 수학에 이렇게 진지할 수 있다는데 놀랐고 답변을 영상을 찍기로 했습니다. 중학생이 이해할 수 있는 수준으로 설명하겠습니다. 먼저 무리수와 유리수의 합이 실수인지 부터 확인해봅시다. 직관적으로 이해가 가능합니다. 실수는 수직선을 빼곡히 매우고 있는 모든 점들이라고 말할 수도 있습니다. 따라서 어떤 유리수는 원점에서 이 유리수의 크기만큼 이동한 위치에 있는 점입니다. 이 유리수에 다른 무리수를 더한다는 것은, 이 점에서 다른 무리수의 크기 만큼 이동한다는 것을 의미합니다. 이동 후에도 여전히 수직선 위의 점이므로 결과는 '실수'라고 할 수 있습니다. 무리수+유리수=실수 실수는 무리수와 유리수로 .. 2021. 1. 13.

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