[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (10) 이항분포

[확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(10) 이항분포]

이항분포

시행을 1번 했을 때, 어떤 사건이 일어날 확률을 p라고 합시다. 이때 이 사건이 일어나지 않을 확률은 (1-p)입니다.  

이러한 시행을 n번 했다고 해봅시다. 사건이 발생한 횟수를 X라고 놓는다면, 사건이 X번 발생할 확률은 P(X)라고 놓을 수 있습니다. 

예를들어 P(3)은 n번 시행에서 사건이 3번 발생할 확률인 것입니다. P(0)부터 계산해봅시다. 

P(0)는 n번의 시행에서 사건이 0번 발생한 확률입니다. 따라서 확률은 아래와 같습니다. 

P(1)은 n번의 시행에서 사건이 1번 발생한 확률입니다. 1번이라는 사건은 첫번째 시행에서 발생할 수도 있고, 두번째 시행에서 발생할 수도 있고, ... , n번째 시행에서 발생할 수도 있습니다. n개의 자리 중 하나의 자리를 선택하는 개수 입니다. 따라서 P(1)은 아래와 같습니다. 

P(2)까지만 직접 구하고 일반화하겠습니다. P(2)는 n번의 시행에서 사건이 2번 발생할 확률입니다. 사건이 발생한 시행이 2번이므로, n번의 시행 중 2번을 골라야 합니다. 따라서 P(2)는 아래와 같습니다. 

일반화시켜봅시다. n번의 시행에서 사건이 x번 발생할 확률은 아래와 같습니다. 아래와 같은 확률분포가 이항분포입니다. 

사건이 발생하지 않을 확률 1-p를 q로 놓는다면 아래와 같이 쓸 수도 있습니다. 

이항분포에서 '이항'은 항이 2개라는 말입니다. 이항분포라는 이름이 붙은 이유는 아래와 같이 항이 2개인 n제곱식을 전개했을 때, 각 항이 이항분포의 확률과 같기 때문입니다. 이렇게 항이 2개인 n차식을 전개하는 것을 '이항정리'라고 합니다. 

만약 어떤 확률변수 X가 이항분포를 따른다면 이항분포의 영어단어 Binomial distribution의 앞글자 B를 따서 아래와 같이 나타냅니다. (n은 시행횟수이고, p는 사건의 발생확률입니다.)