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수학(하)48

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (25) 명제의 부정 명제의 부정 부정은 아니(부)와 바를(정)입니다. 직역하면 바르지 않다는 뜻인데요. 어떤 명제의 부정은 반대를 의미합니다. 예를들어 '지구는 태양 주위를 돈다'의 부정은 '지구는 태양 주위를 돌지 않는다'입니다. 이 명제를 기호 p로 나타내봅시다. p : 지구는 태양 주위를 돈다. 부정을 나타내는 기호는 ~ 입니다. 영어로는 not 을 의미합니다. 따라서 위 명제 p의 부정은 아래와 같습니다. ~p : 지구는 태양 주위를 돌지 않는다. 만약 어떤 명제가 참이라면 그 명제의 부정은 어떻게 될까요? 참인 명제의 반대이므로 거짓이 됩니다. p : 지구는 태양 주위를 돈다. (참)~p : 지구는 태양 주위를 돌지 않는다. (거짓) 반대로 어떤 명제가 거짓이라면 그 명제의 부정은 참이 됩니다. 어떤 명제 p에 부.. 2019. 1. 28.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (24) 명제란 무엇인가 명제란 무엇인가 명제는 한자어입니다. 목숨(명)과 제목(제)입니다. 목숨제목? 전혀 와닿지 않습니다. 한자어인 '명제'는 일상에서 자주 쓰이지 않습니다. 영어로는 proposition입니다. 사업상의 제의라는 뜻으로 쓰입니다. 명제는 한자어의 그 이름뜻이나 영어의 의미와는 구별되는 수학적인 의미가 있습니다. 정확한 유래를 알 수는 없지만 '어떤 수학적인 의미'를 '명제' 또는 'proposition'이라는 이름껍데기에 담은 것입니다. 수학에서 명제의 의미은 다음과 같습니다. '참과 거짓을 명확하게 가릴 수 있는 문장 또는 식' 명제는 문장이나 식으로 표현됩니다. 모든 문장이나 식이 명제는 아닙니다. 한가지 조건이 붙습니다. 참과 거짓을 명확하게 가릴 수 있어야 한다는 것입니다. 예를 들어 아래 문장은 명.. 2019. 1. 28.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (23) 대칭차집합 대칭차집합 A와 B라는 두 집합이 있는데, 겹치지 않는 부분만 기호로 나타내고 싶었습니다. 어떻게 하면 될까요? A와 B의 합집합에서 가운데 부분이 비어있는 집합입니다. 먼저 떠오르는 생각은, 합집합에서 교집합을 빼는 것입니다. 다른 방법도 있을까요? 차집합을 이용해도 표현할 수 있습니다. A에서 B를 뺀 집합과, B에서 A를 뺀 집합을 합해주면 됩니다. 방법이 더 있을지 생각해봅시다. 한 가지 방법이 더 떠올랐어요. (A와 B의 합집합)과 (A와 B의 교집합의 여집합)을 상상해봅시다. 둘의 겹치는 부분이 보이시나요? 우리는 지금까지 같은 집합을 다른 방법으로 표현해보았습니다. A집합과 B집합에서 겹치지 않는 부분으로 이루어진 집합이지요. 이 집합을 대칭차집합이라고 부릅니다. 벤다이어그램에서 보면 차집합.. 2019. 1. 14.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 *(22) 배수집합 배수집합 집합을 발견하고 가지고 놀던 사람들은 '어떤 자연수의 배수'로 이루어진 집합을 만들어내기에 이릅니다. 예를들면 2의 배수로 이루어진 집합 {2,4,6,8,10,...} 따위입니다. 원소가 무수히 많을테니 무한집합에 속합니다. 중괄호 안에 몇개의 원소를 적고 점세개를 찍는 것은 귀찮은 일입니다. 귀찮은걸 싫어하는건 인간의 본능이죠. 어떤 수 k의 배수로 이루어진 집합을 기호 로 나타내기로 합의를 봅시다. 익숙해져야 하니까 몇가지 예를 들어드릴게요. 배수집합이 무엇인지 알았으니, 배수집합을 가지고 재밌는 것들을 해봅시다. 여기 세개의 배수집합이 있습니다. 집합이니까 연산이 가능합니다. 교집합, 합집합 등을 구할수 있다는 말입니다. m의 배수집합과 n의 배수집합의 교집합을 구했더니 k의 배수집합이 나.. 2019. 1. 13.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제(19) 원소의 개수 - 합집합 원소의 개수 - 합집합 이런 상황을 가정해 봅시다. 집합 A와 B가 있구요. 우리는 집합 A의 원소 개수, 집합 B의 원소 개수, 집합 A와 B의 교집합의 원소 개수를 알고 있습니다. 이 정보들로 합집합을 구해야하는 상황입니다. 집합 A와 B의 합집합을 상상해봅시다. A와 B가 합쳐질 때 A와 B중 한쪽은 교집합 만큼을 떼어내야 합니다. 머리속에 집합 A와 B를 떠올립시다. 이제 교집합 부분을 B에서 떼어냅시다. 이제 B는 한입 베어문 사과처럼 한쪽이 파여 있습니다. B를 A와 붙이게 되면 A와 B의 합집합이 됩니다. 이 과정을 식으로 나타내 봅시다. 이제 우리는 합집합의 원소의 개수를 구할 수 있게 되었습니다. 이번에는 상황을 좀 더 복잡하게 만들어봅시다. 집합 A,B,C 가 있습니다. 셋다 서로 겹치.. 2019. 1. 9.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (16) 집합의 서로소 집합의 서로소 서로소라는 말은 자연수를 다룰 때도 나온 적이 있습니다. 두 수가 서로소라는 것은 공약수가 1밖에 없다는 것을 의미합니다. 집합에서의 서로소도 이와 비슷합니다. 두 집합의 교집합이 공집합밖에 없을때, 즉 두 집합의 공통된 원소가 하나도 없을 때 두 집합을 서로소라고 합니다. 서로소의 '소'는 한자로 본디, 바탕, 성질을 뜻하는 말입니다. 서로는 each other 할때 서로구요. 본디라는 말은 '사물이 전하여 내려온 그 처음'이라는 뜻입니다. 따라서 서로소는 서로가 각각 본래의 것이라는 의미로 이해하면 됩니다. 서로가 각각 고유한 본래의 것이기 때문에 겹치는 부분이 없다는 것이죠. 집합 A와 B가 서로소일 때 아래의 성질을 만족합니다. 교집합이 공집합입니다. 공통된 원소가 없다는 말이죠. .. 2018. 12. 11.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (15) 차집합의 성질 차집합의 성질 차집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 어렵지 않은 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) 이다. 전체집합에서 A를 빼면, A의 여집합이 납습니다. 2) 이다 A와 B의 여집합의 겹치는 부분을 상상해봅시다. A에서 B가 빠진 곳에 해당되죠? A에서 A와 B의 교집합을 빼봅시다. 이때도 같은 곳이 남습니다. 3) 이면 이다. A에서 B를 뺐는데 아무 것도 남지 않았다면 둘은 어떤 관계인걸가요. B가 A의 모든 원소를 가지고 있따는 말이겠죠? B가 A를 포함하는 상황입니다. 2018. 12. 11.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (14) 차집합 차집합 차집합은 이름에서도 알 수 있듯 무언가를 '뺀'집합입니다. 아래 그립을 봅시다. 집합 A에서 B를 뺐습니다. 이 집합을 A 차집합 B, 또는 A에 대한 B의 차집합이라고 합니다. 기호로는 A-B 로 나타냅니다. 실제 예를 들어봅시다. 전체집합 U와 집합 A가 있습니다. A-B 를 구해봅시다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? and 대신 '그리고'라고 써도 됩니다. 2018. 12. 11.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (13) 여집합의 성질 여집합의 성질 여집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 어렵지 않은 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) 이다. 아무것도 없는 것을 뺀 나머지 부분은 '전체'겠지요. 2) 이다 전체를 뺀 나머지는 '비어있다' 입니다. 3) 이다. A의 반대의 반대는 A입니다. 부정의 부정은 긍정이구요. '싫지 않다' 4) 이다. A와 A의 여집합은 공통된 원소가 하나도 없습니다. 5) 이다. A와 A를 제외한 나머지 부분을 합하면 전체가 됩니다. 2018. 11. 28.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (10) 합집합 합집합 합집합은 두 집합을 합친 것입니다. 원소의 입장에서 본다면 A와 B중 적어도 하나에 포함되는(A 또는 B에 포함되는) 원소들을 추린 것이죠. 벤 다이어그램으로 나타내면 아래와 같습니다. 기호로는 이렇게 나타냅니다. A 합집합 B라고 부릅니다. A교집합 B라고 부릅니다. 실제 예를 들어봅시다. 집합 A와 B가 있습니다. 합집합을 구해봅시다. 겹친다고 두번 쓰지는 않습니다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? or 대신 '또는'이라고 써도 됩니다. 2018. 11. 26.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (9) 교집합의 성질 교집합의 성질 교집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 얼마든지 생각해낼 수 있는 간단한 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) A ⊂ B 이면 A ∩ B = A 이다. A가 B에 포함된다면, A가 B 안에 들어가 있는 모양입니다. 당연히 A와 B의 겹치는 부분은 A겠지요. 2) A ∩ B = A 이면 A ⊂ B 이다. 1번 성질의 '역'입니다. 어떤 명제가 성립한다고 역이 반드시 성립하지는 않습니다. 이 경우는 성립하네요. A와 B의 교집합을 구했더니 A가 나왔습니다. 이런 결과가 나오는 경우는 A가 B에 포함된는 경우 밖에는 없습니다. 3) A ∩ Φ = Φ 이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 따라서 어떤 집합과 공집합의 교집합을 구하면 공집합이 됩니다. 4) A ∩ A = A 이다. 당.. 2018. 11. 26.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (8) 교집합 교집합 교집합은 교차되는 집합을 의미한다. 두 집합이 있으면 두 집합이 겹치는 부분이다. 원소의 입장에서 본다면 집합 A와 집합 B에 동시에 포함되는(A 그리고 B에 포함되는) 원소들을 추린 것입니다. 벤 다이어그램으로 나타내면 아래와 같다. 기호로는 이렇게 나타냅니ㅁ다. A 교집합 B 라고 부릅니다. A교집합 B라고 부릅니다. 실제 예를 들어봅시다. 집합 A와 B가 있습니다. 교집합을 구해봅시다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? and 대신 '그리고'라고 써도 됩니다. 2018. 11. 26.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (7) 부분집합의 개수 + 특정한 원소 부분집합의 개수 + 특정한 원소 부분집합의 개수를 구하다 보면 이런 의문이 듭니다. 만약 어떤 원소를 반드시 포함하도록 한다면 부분집합의 개수는 어떻게 될까. 오늘날 우리들은 이런 의문을 가질 새 없이 지식을 계속 습득해야 하지만 돈 많고 시간 많고 호기심 많던 옛사람들은 이런 의문도 가졌을 거에요. 말로만 설명해볼테니 한번 이해해봅시다. 상상력을 동원해서 우리 뇌를 성장시켜보죠. 어떤 집합 A가 있다고 해봅시다. A의 원소는 n개입니다. A의 부분집합의 개수는 입니다. 지난시간에 배웠습니다. A의 원수 n개 중에서 특정한 원소 k개를 반드시 포함하고 싶은 상황입니다. 좋은 아이디어가 있습니다. 먼저 k개의 원소를 빼놓겠습니다. 그럼 A의 원소는 n-k개가 됩니다. n-k개의 원소로 만들 수 있는 부분집.. 2018. 11. 26.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (5) 서로 같은 집합, 진부분집합 서로 같은 집합, 진부분집합 두 집합이 서로 같으려면 어떤 조건이 필요할까요. 두 집합의 원소가 모두 같아야 합니다. 이때 두 집합을 서로 같다고 합니다. 두 집합이 서로 같다는 것을 조금 더 복잡하게 표현할 수도 있습니다. A가 B에 포함되고, 반대로 B도 A에 포함된다면 어떨까요. 서로가 서로를 포함하는 상황은 두 집합이 같아야만 가능합니다. 집합 A와 A의 부분집합에 대해서 생각해 봅시다. 집합 A의 부분집합 중에는 자기자신도 포함됩니다. 부분집합에서 자기 자신을 제외한다면, 진짜 '부분'이라고 말할 수 있는 집합만 남습니다. 이 집합을 진부분집합이라고 합니다. A의 진부분집합이 B라면 아래와 같은 조건이 성립합니다. 2018. 11. 26.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (4) 부분집합의 정의, 개수, 합 부분집합의 정의, 개수, 합 집합 A와 B가 있다고 해봅시다. 만약 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 들어있을 때, B를 A의 부분집합이라고 합니다. 집합 A는 B를 포함한다고 말합니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 부분집합에서 기억해야할 두 가지 성질이 있습니다. 첫번째 성질은 공집합이 모든 집합의 부분집합이라는 것입니다. 아무것도 없는 것은 무언가 있는 것의 부분이라는 것이죠. 직관적으로 이해가 되지 않아도 됩니다. 약속이니까 기억하시면 되요. 두번째 성질은 모든 집합이 자기 자신의 부분집합이라는 것입니다. 설명이 필요없이 이해되실거라 생각합니다. 2018. 11. 26.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (3) 원소의 개수를 나타내는 방법 원소의 개수를 나타내는 방법 유한집합의 원소의 개수를 나타내는 방법에 대해 알아봅시다. 무한집합은 원소의 개수를 셀 수 없기 때문에 나타낼 수도 없습니다. 집합 A의 원소의 개수는 아래와 같이 나타냅니다. 원소의 개수는 5개로 하겠습니다. n과 괄호( )는 the number of 라고 생각하시면 됩니다. n(A)는 the number of A 입니다. 2018. 11. 26.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (1) 집합과 원소, 집합의 표현 집합과 원소, 집합의 표현 집합은 '모임'입니다. 모든 모임이 집합은 아닙니다. 어떤 모임에 속하는지 아닌지를 구별할 수 있는 정확한 '기준'이 있어야 집합이 될 수 있습니다. 예를들어 목소리가 큰 사람들의 모임은 집합이 아닙니다. 사람마다 기준이 다를 수 있기 때문입니다. 고양이들의 모임은 집합입니다. 집합에 속하는 모든 대상을 원소라고 합니다. 10보다 작은 짝수의 집합을 A라고 한다면 집합 A의 원소는 2,4,6,8이 있습니다. 원소는 집합에 속한다고 표현합니다. 2는 집합 A에 속합니다. 이를 기호로도 나타낼 수 있습니다. 1은 집합 A에 속하지 않습니다. 이것도 기호로 나타낼 수 있습니다 . 집합을 표현하는 방법은 세 가지가 있습니다. 원소나열법, 조건제시법, 벤다이어그램 입니다. 원소나열법은 .. 2018. 11. 26.

고등수학 수학(하) 전체내용 한눈에보기 (2015개정,2018시행) 수학(하) 한눈에보기 (2015개정,2018시행) 수학(상) 다음에 배우는 과목이 수학 (하) 입니다. 이름을 참 뭐같이 지었죠? 내용을 전혀 예측할 수 없는 딱딱한 제목입니다. 수학(상)과 수학(하)는 사실은 한권의 과목이에요. 이라는 과목이죠. 내용이 많아서 둘로 나눈 것입니다. 자, 그럼 오늘은 수학(하) 얘기를 해봅시다. 1. 집합과 명제2. 함수와 그래프3. 경우의수 수학 (하)에서는 위의 세가지 내용을 배웁니다. 집합은 중학교때 이미 배워서 집합이 뭔지 부터 설명할 필요는 없을 것 같네요. 명제 이야기는 간단히 해볼게요. 명제가 뭔지 정확히 알고있어야 합니다. 아무말이나 '문장'이 된다고 해서 명제가 되지는 않아요. 명제가 뭐죠?? 한번 대답해봅시다. 명제는 참과 거짓을 판별할 수 있는 문장 .. 2018. 10. 8.

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