[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 *(22) 배수집합

배수집합

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집합을 발견하고 가지고 놀던 사람들은 '어떤 자연수의 배수'로 이루어진 집합을 만들어내기에 이릅니다. 예를들면 2의 배수로 이루어진 집합 {2,4,6,8,10,...} 따위입니다. 원소가 무수히 많을테니 무한집합에 속합니다. 중괄호 안에 몇개의 원소를 적고 점세개를 찍는 것은 귀찮은 일입니다. 귀찮은걸 싫어하는건 인간의 본능이죠. 어떤 수 k의 배수로 이루어진 집합을 기호 로 나타내기로 합의를 봅시다. 익숙해져야 하니까 몇가지 예를 들어드릴게요. 

배수집합이 무엇인지 알았으니, 배수집합을 가지고 재밌는 것들을 해봅시다. 여기 세개의 배수집합이 있습니다. 

집합이니까 연산이 가능합니다. 교집합, 합집합 등을 구할수 있다는 말입니다. 

m의 배수집합과 n의 배수집합의 교집합을 구했더니 k의 배수집합이 나왔습니다. 상상이 되시나요? 수식으로 써봅시다. 

셋은 어떤 관계가 있을지 알아내는 것이 첫번째 놀이입니다. 흥미진진하죠? 

먼저 좌변을 분석합시다. 사실 좌변만 이해하면 끝납니다. m의 배수의 집합과, n의 배수의 집합의 교집합니다. m의 배수와 n의 배수 중 공통적으로 발생하는 값들을 말합니다. 이 값이 무엇인가요? m과 n의 공배수입니다. 

따라서, 는 m과 n의 공배수의 집합입니다. 그렇다면 k의 값은 무엇일까요? 공배수 중 첫번째 원소의 값으로 가장 작은 공배수입니다. '최소공배수'가 됩니다. 요약해봅시다. 

아래 등식을 만족하는 k값은 m과 n의 최소공배수이다. 

한가지 놀이를 더 해봅시다. 이번에는 두개의 배수집합이 있습니다. 

m의 배수집합인 과 n의 배수집합인 의 합집합을 구했더니 이 나왔습니다. m과 n은 어떤 관계가 있을까요? 수식으로 써보면 아래와 같습니다. 

n의 배수들의 집합이 m의 배수들의 집합을 포함한다는 뜻입니다. 예를 한가지 들어봅시다. 2의 배수 집합과 4의 배수집합을 한번 써보겠습니다. 

2의 배수의 집합이 4의 배수의 집합을 포함합니다. 2는 4의 약수입니다. 다른 예도 들어봅시다. 

3의 배수의 집합이 6의 배수의 집합을 포함합니다. 3은 6의 약수입니다. 이런 규칙을 일반화해봅시다. 

m과 n은 어떤 관계일까요. n의 배수의 집합이 m의 배수의 집합을 포함한다면? n은 m의 약수입니다.