[모듈식 수학2] 2.미분 (7) 극한의 존재, 연속, 미분가능성의 관계

[수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(7) 극한의 존재, 연속, 미분가능성의 관계]

극한의 존재, 연속, 미분가능성의 관계

우리는 아래 세가지 내용을 배운 상태입니다. 

- 극한의 존재

- 연속

- 미분가능

세 조건의 관계를 알아봅시다. 극한의 존재와 연속의 관계는 이미 배웠습니다. 복습할겸 아래 두 명제의 참/거짓 여부를 판별해봅시다. 

1) 어떤 함수 f(x)가 있을 때, x=a에서 연속이면 극한이 존재한다. 

2) 어떤 함수 f(x)가 있을 때, x=a에서 극한이 존재하면 연속이다. 

1번이 참입니다. 연속은 극한값과 함수값이 같아야 합니다. 극한이 존재해야 연속일 수 있습니다. 반대로 극한이 존재한다고 연속이지는 않습니다. 반례가 존재합니다. 아래와 같은 반례입니다. 

극한값은 존재하지만 연속이지는 않습니다. 따라서 극한의 존재여부와 연속의 집합관계는 아래와 같습니다 .

연속과 미분가능의 관계를 알아봅시다. 아래 두 명제를 봅시다.

1) 어떤 함수 f(x)가 있을 때, x=a에서 연속이면 미분가능하다. 

2) 어떤 함수 f(x)가 있을 때, x=a에서 미분가능하면 연속이다. 

먼저 첫번째 명제는 반례가 존재합니다. 지난시간에 배운 '첨점'입니다. 

두번째 명제는 어떨까요. 지난시간에 배운내용이지만 다시 가져와봅시다. 

아래는 미분계수의 정의입니다. 

위 함수에 미분계수의 정의를 적용해보면, 분모는 0으로 수렴하는 반면 분자는 0으로 수렴하지 않습니다. 따라서 수학적으로 불능상태가 됩니다. 정의 자체가 되지 않는다는 것입니다. 아래 조건이 만족해야 미분계수가 정의되고 이는 '연속'을 의미합니다.

연속은 미분가능의 충분조건입니다. 연속이어야 미분가능합니다. 따라서 미분가능하다면 연속입니다. 두번째 명제는 참입니다. 

집합으로 나타내면 아래와 같습니다.