[모듈식 수학2] 2.미분 (4) 미분계수에 왜 '계수'라는 말이 붙어있나

[수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(4) 미분계수에 왜 계수라는 말이 붙어있나]

미분계수에 왜 계수라는 말이 붙어있나

미분(微分)은  한자로 작을 (미), 나눌 (분) 입니다. 무언가를 작게 나눈다는 의미입니다. 우리는 함수에서 미분계수를 구하고 있으므로, 우리가 다루는 미분은 '함수의 미분'입니다. 함수의 미분은 함수를 작게 나누는 것입니다. 이런 질문이 이어져야 합니다. 

함수를 작게 나눈다는게 뭔소리야?

우리는 함수의 미분의 의미를 배우지 않은 상태입니다. 함수를 미분한다는 개념도 모르는 상태로 '미분계수'를 배우려니 의미가 와닿지 않을 수 밖에 없습니다. 

그런데 함수를 미분한다는 것은 함수의 미분계수를 일반화한 도함수를 구하는 것과 같습니다. 우리는 '미분'도 '미분계수'도 이해하지 못했는데 서로가 서로를 정의하고 있습니다. A와 B의 대화를 봅시다. 

A: 미분은 미분계수를 일반화한 도함수를 구하는 것이다. 그럼 미분계수는 뭘까?

B: 미분계수는 미분+계수이다. 미분의 의미를 알아보자.

A: 미분은 미분계수를 일반화한 도함수를 구하는 것이라니까? 미분 계수는 뭔데?

B: 미분계수는 미분+계수이다. 미분이 뭔질 알아야 미분계수를 정의하지!

...

이해할 방법이 없어보입니다.

이렇게 접근해봅시다. 함수 f(x)에서 x=a의 순간변화율을 '미분계수'라고 놓는 순간 모든 문제가 발생했습니다. 전혀 이어지지 않아 보이는 두 개념을 아무 설명 없이 연결해버렸기 때문입니다. 도데체 a에서의 순간변화율이 왜 갑자기 '미분계수'라는 단어로 바뀌어버린걸까요? 이 지점을 연결할 다리를 놓아야 합니다. 

f(x)에서 x=a의 순간변화율을 기호로 f'(a)라고 나타냅니다. 이 값을 보는 순간 '미분계수'라는 단어가 떠올라 이름을 붙인 것은 아닙니다. 아마 이런 순서가 자연스러울 것입니다. 실제 역사는 다를 수 있지만, 이해를 돕기 위해 논리적 순서에 따라 이야기를 진행해보겠습니다. 순간변화율을 발견한 사람들은 어떤 지점에서의 순간변화율을 함수로 만들어보고 싶었을 것입니다. a를 x로 바꿔보았더니 f'(x)라는 함수가 되었습니다. x에 어떤 값을 넣으면, 그 지점에서의 순간변화율이 구해지는 함수가 된 것입니다. 이 함수를 뭐라고 이름 붙이면 좋을까요? 이 함수의 이름은 derivative(도함수)입니다. 도(導)는 이끌다(도)입니다. 원래의 함수로 부터 이끌려 나온 함수, '순간변화율'을 구해주는 함수정도로 이해할 수 있습니다. 

도함수를 구하는 '과정'을 '미분'이라고 이름붙였습니다. 도함수를 구하는 과정은 아래와 같이 나타낼 수 있는데, x와 f(x)를 잘개 나눠서 비율을 구하는 과정입니다.

이제 왜 미분(작게 나눈다)이라는 말이 붙었는지는 이해가 됩니다. 

이번에는 미분계수를 이해해봅시다. 계수라는 것은 미지수 앞에 붙어있는 상수를 의미합니다. 대표적으로는 마찰계수가 있습니다. 마찰계수는 μ 로 나타냈습니다. 

아래와 같이 변형해봅시다.

마찰계수는 (마찰력)/(수직하중) 입니다. 즉 수직하중에 대한 마찰력의 비율입니다. 계수는 어떤 두 값의 비율을 의미하기도 합니다. 

a에서의 순간변화율 f'(a)는 a에서의 x의 변화량에 대한 y의 변화량의 비율입니다. 어떤 두 값의 비율이므로 '계수'를 붙이려고 했는데, 미분의 결과로 나온 값이므로 미분계수라고 부르기로 한 것입니다. 

이해의 순서를 다시 정리해봅시다. 

함수 f(x)에서 x=a에서의 순간변화율을 정의함

→ a대신 x를 넣어서 일반화시킨 f'(x)를 도함수라고 부름 

→ 도함수를 구하는 과정을 미분이라고 부름

→미분을 통해 순간변화율이 구해지므로 순간변화율을 '미분 계수'라고 부르기로함