[모듈식 수학2] 2.미분 (11) y=axⁿ의 도함수

[수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(11) y=axⁿ의 도함수]

y=axⁿ 의 도함수

도함수의 정의를 에 적용해봅시다. 

분자를 인수분해해야합니다. 먼저 아래 식을 인수분해해봅시다. 

a를 해로 갖는다는건 쉽게 알 수 있다. 따라서 (x-a)를 인수로 가집니다. 

괄호 안에는 무엇이 들어가야 할까요. 이 만들어져야 하므로, 가장 첫 자리에는 아래와 같이 이 들어가야 합니다. 

그 다음자리에는 뭐가 들어가야할까요. 우리가 쓴 부분까지만 전개해보면 가 만들어져야 합니다. 따라서 아래 항이 추가되어야 합니다.

이와 같은 원리로 항을 추가해 나가면 아래와 같이 인수분해할 수 있습니다. 

이 원리를 맨 위의 미분계수 식에 적용해봅시다. 

빨간 부분을 계산합시다. 

약분하면 아래와 같습니다. 

극한값은 아래와 같습니다. 

몇개가 더해졌을까요? x를 기준으로 생각해보면, x의 0제곱부터 x의 n-1제곱까지 더한 것이므로 항이 n개라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 결과는 아래와 같습니다. 

정리해봅시다. 

의 도함수는  이다.