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수학(상)/2. 방정식과 부등식53

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (23) 절댓값함수와 그래프(대칭이동) 절댓값함수와 그래프(대칭이동) 절댓값 함수와 그래프(대칭이동)에 대해 공부해봅시다. 대칭이동을 이용해서 절댓값 함수 그래프를 조금 쉽게 그릴 수 있는 방법입니다. 단, 앞으로 설명드릴 네 가지 경우에만 사용 가능합니다. 1. f(x)에 통째로 절댓값이 씌워져 있는 경우 ( y=|f(x)| ) 함수를 보시면, y값이 무조건 양수입니다. y=f(x)에서 y가 음수인 부분이 전부 양수로 바뀌게 되겠죠? 아래와 같이 그려주시면 됩니다. 2) x에만 절댓값이 씌워져 있는 경우 ( y=f(|x|) ) x에 절댓값이 씌워져 있다는 것은, x가 음수일 때의 y 값이, x가 양수일 때와 동일하다는 의미입니다. 따라서 x가 양수인 부분을 y축 대칭해서 그려주면 됩니다. 3) y에만 절댓값이 씌워져 있는 경우 ( |y|=f.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (22) 절댓값함수 절댓값함수 절댓값 함수에 대해 공부해봅시다. 절댓값 함수라는 공식적인 명칭은 없습니다. 절댓값 기호를 포함한 함수를 ‘절댓값 함수’라고 부르기로 합시다. 그래프를 그리는 방법은 간단합니다. 절댓값을 0으로 만드는 x 또는 y값을 기준으로 범위를 나누고 각 범위에서 그래프를 그리면 됩니다. 몇가지 예시를 통해 공부해봅시다. 먼저 x에 절댓값이 씌워져 있는 경우입니다. 이번에는 y에 절댓값이 씌워진 경우를 보죠. 좀 귀찮아서 그렇지 어렵지는 않습니다. 꼭 손으로 직접 그려보세요. 다음시간서는 대칭이동을 이용해서 그래프를 쉽게 그리는 방법을 공부해보겠습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (21) 일차함수 일차함수 일차함수에 대해 공부해봅시다. 먼저 일차함수를 포함하고 있는 더 큰 개념인 ‘다항함수’에 대해서 알아봅시다. 고등교육과정에서는 정의역이 x 한 가지인 함수만 다루기 때문에 ‘x에 대한 다항함수’를 ‘다항함수’로 부르겠습니다. 다항함수의 정의는 아래와 같습니다. “치역의 원소가 x에 대한 다항식으로 정의되는 함수” 수식으로 표현하면 이해가 쉬울 것입니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 일차함수는 다항함수 중에서 차수가 1차인 함수입니다. 이번에는 그래프를 그려봅시다. 잠깐 함수와 그래프에 대한 이야기를 하고 넘어갑시다. 모든 함수를 그래프로 나타낼 수 있는 것은 아닙니다. 정의역이 x,z,w,p 네 종류이고 치역이 f(x.z,w,p) 라면 좌표 평면에(좌표 공간 일지라도) 그래프를 그릴 수 .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (20) 이차방정식의 실근의 부호 이차방정식의 실근의 부호 1. 두 근이 모두 양수일 조건 이차방정식의 두 근이 모두 양수이기 위한 조건입니다. 어떤 조건을 찾는건지 먼저 알아야 해요. 계수의 조건을 찾는 것입니다. 예를 들면 이런 문제입니다. 에서 두 근이 모두 양수일 조건을 고르시오. 답은 k의 범위가 됩니다. 일단 두 근이 존재해야 합니다. 판별식 D가 0보다 커야 하죠. 그리고 두 근이 양수니까 두 근의 합이 양수, 두 근의 곱이 양수겠죠? 근과 계수의 관계를 이용해서 두근의 합과 곱이 양수라는 조건을 추가해주시면 됩니다. 이제 찾은 조건들을 이용해서 k의 범위를 구하면 답입니다. 아래 그림에 구하는 과정을 나타냈습니다. K의 범위는 -40인 조건이 필수적이다. 부호만 다르면 되기 때문에 두 근의 합은 음수가 될 수도 있고 0이 .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (19) 켤레근의 성질 켤레근의 성질 켤레근의 성질에 대해 공부해봅시다. 먼저 아래의 근의공식을 봅시다. 근이 쌍을 이루고 있는 것을 알 수 있습니다. 이런 근이 켤레근입니다. 켤레근 자체를 이해하는 것은 매우 간단합니다. 중요한 내용은 따로 있는데 뒤에서 다루기로 하고, 일단 예를 하나 들어볼게요. 의 근을 구하면 아래와 같습니다. 둘의 관계는 켤레근입니다. 중요한 질문을 하나 해보겠습니다. 그렇다면, 만약 어떤 이차함수의 한 근이 일 때, 다른 한 근은 라고 할 수 있을까요? 정답은 ‘No’ 입니다. 반례가 있는데 그 반례를 말씀드리겠습니다. 의 두 근을 구하면 아래와 같습니다. 한 근이 인데 다른 한 근이 이 아니라 입니다. 왜 이런 일이 발생했을까요? 이유는’계수’입니다. 이차함수의 계수가 무리수이기 때문에 이런 일이 .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (18) 근과 계수의 관계 활용 근과 계수의 관계 활용 1. 다항식 2. 방정식과 부등식01. 복소수02. 일차, 이차방정식(9) 일차방정식의 정의와 풀이(10) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값 1개)(11) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값 2개)(12) 이차방정식의 정의와 풀이(인수분해)(13) 이차방정식의 풀이(근의 공식)(14) 가우스기호를 포함한 이차방정식(15) 이차방정식의 판별식(16) 이차식의 완전제곱식(17) 근과 계수의 관계(18) 근과 계수의 관계 활용(19) 켤레근의 성질(20) 이차방정식의 실근의 부호03. 일차, 절댓값, 가우스함수04. 이차함수와 그 활용05. 고차방정식06. 연립방정식07. 여러가지 부등식3. 도형의 방정식 근과 계수의 관계의 활용에 대해 공부해봅시다. 두가지 주제를 다룰거에요. 하.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (17) 근과 계수의 관계 근과 계수의 관계 근과 계수의 관계에 대해 공부해봅시다. 아래와 같은 이차방정식의 일반형에서 출발합니다. 이차방정식의 두 근이 α, β 일 때, 이 두 근과 계수 a,b,c 사이에 어떤 관계가 있는지 공부할 것입니다. 근의 공식으로 근을 구하면 아래와 같습니다. 간단합니다. 둘을 더해볼게요. 두근의 합이 계수 a 와 b로 표현되었습니다. 이번에는 두 근을 곱해봅시다. 두 근의 곱이 계수 a와 c로 표현되었습니다. 마지막으로 두 근의 차를 구해봅시다. 근과 계수와의 관계 중 두 근의 합과 곱은 실근, 허근 상관없이 성립합니다. 하지만 두 근의 차는 실근에서만 성립하는 성질입니다. 왜냐하면 ‘절댓값’이 들어가기 때문입니다. 허수는 부호가 없죠. 따라서 절댓값을 정의할 수가 없습니다. 두 근의 차에 대한 공식.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (16) 이차식의 완전제곱식 이차식의 완전제곱식 이차식이 완전제곱식이 되기 위해 어떤 조건이 필요한지 공부해봅시다. 이차식의 일반형을 완전제곱식으로 만드는 과정을 아래 그림에 나타내었습니다. 0이 되어야 하는 식에서 분자에 있는 식이 0이 되면 됩니다. 따라서 가 0이면 됩니다. 판별식이죠? 정리해봅시다. 가 완전제곱식이 되기 위한 조건은 D=0 입니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (15) 이차방정식의 판별식 이차방정식의 판별식 이차방정식의 판별식에 대해 공부해봅시다. 이차방정식의 근을 구하지 않은 상태에서 근의 개수를 알아내는 방법입니다. 근의 개수를 ‘판별’해 준다는 의미로 ‘판별식’이라고 부릅니다. 판별식은 근의 공식 속에 숨어있습니다. 아래 근의 공식을 보시죠. 기본적으로 이차방정식은 두개의 근을 갖습니다. 그런데 만약 루트 안에 있는 식 가 0 이 된다면 어떨까요. 두 근이 같아지게 되죠? 따라서 이차방정식은 하나의 근을 갖게 됩니다. 이 근을 ‘중근’이라고 부릅니다. 근이 중복되었다는 뜻입니다. 이번에는 가 0보다 작게 되면 어떨까요. 루트 안이 음수니까 허수가 됩니다. 이차방정식은 두개의 허근을 갖게 되죠. 이렇게 의 부호만 알면 이차방정식의 근의 개수를 알 수 있습니다. 이 식이 바로 판별식입니.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (14) 가우스기호를 포함한 이차방정식 가우스기호를 포함한 이차방정식 이번 모듈에서는 가우스 기호를 포함한 이차방정식에 대해 공부해봅시다. 먼저 가우스 x 의 정의를 알아봅시다. “실수 x에 대하여 x보다 크지 않은 최대의 정수” 예를 들어 가우스 1.3 은 1.3보다 크지 않은 최대의 정수인 것입니다. 얼마인가요? 1입니다. 가우스 x는 기호로 [x]로 나타냅니다. 몇가지 예를 들어봅시다. [-2.3]=-3[3.5]=3[5]=5 이번에는 반대로 [x]가 특정 값을 가질 때의 x에 대해 생각해봅시다. [x]가 3이라면 x는 어떤 수가 들어갈 수 있을까요. 3, 3.1, 3.3, 3.5, 3.8 등이 가능할 것입니다. [4]=4 가 되니까 4보다는 작아야겠죠. 따라서 [x]=3 이면 3≤x 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (13) 이차방정식의 풀이(근의공식) 이차방정식의 풀이(근의공식) 이차방정식의 근을 구할 때, 인수분해가 되면 근을 쉽게 구할 수 있습니다. 하지만 인수분해가 되지 않는 경우가 더 많은데요. 이 때 근을 구하는 방법이 근의공식을 이용하는 것입니다. 단순히 결과만 외워서 사용하지 마시고 아래 유도과정을 꼭 따라해보세요. 유도된 공식을 보면 이차방정식의 계수를 이용해서 해를 구할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 이번에는 ‘절반공식’이라고 불리는 변형된 근의공식을 유도해봅시다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (12) 이차방정식의 정의와 풀이(인수분해) 이차방정식의 정의와 풀이(인수분해) 이차방정식의 정의는 아래와 같습니다. “차수가 2차인 방정식” 아래와 같은 방정식들이 이차방정식이겠죠? 하지만 일반적으로 우리가 ‘이차방정식’이라고 부를 때는 ‘x 에 대한 이차방정식’을 의미합니다. 미지수가 x 하나인 이차방정식이죠. 아래와 같은 형태입니다. 이 등식을 만족시키는 x 값이 바로 이차방정식의 근(또는 해)입니다. 어떻게 찾을까요? 두가지 방법이 있습니다. 인수분해가 된다면 인수분해를 통해 해를 구할 수 있어요. 예를 하나 들어봅시다. 인수분해 하실 수 있죠? 해봅시다. 인수분해만 되면 등식을 만족하는 해는 쉽게 구할 수 있습니다. -6 과 1 입니다. 인수분해가 되지 않는 경우에는 ‘근의 공식’을 사용합니다. 근의 공식에 대해서는 다음 시간에 공부하겠습.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (11) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값2개) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값2개) 오늘은 절댓값 기호가 2개 있는 일차방정식에 대해 공부해봅시다. 아래 그림을 통해 풀이 방법을 설명드릴게요. 먼저 절댓값을 0 으로 만드는 x값을 찾습니다. 위 예시에서는 a와 b입니다. 크기 순서대로 수직선에 나타내면 총 세개의 영역(빨강, 파랑, 초록)이 생깁니다. 이 세개의 영역에서 각각 따로 x 값을 구해주어야 합니다. 절댓값이 벗겨지는 부호가 각자 다르기 때문입니다. 이제 각각의 영역에서 x값을 구하고, 구한 x값이 해당 영역에 속하는지 확인한 뒤 최종 해를 선정해주면 됩니다. 방법은 아시겠죠? 이제 숫자를 넣은 예시를 풀어봅시다. 위 그림처럼 각각 범위에서 x 값을 구하고 나면, 구해진 x 값이 해당 범위에 속해 있는지 확인합니다. 최종적으로 살아남은.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (10) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값1개) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값1개) 오늘은 절댓값 기호가 1개 있는 일차방정식에 대해 공부해봅시다. 먼저 절댓값의 성질을 알아볼게요. 절대값의 성질은 아래와 같습니다. 이 절댓값 안에 일차식이 들어있는 방정식을 배울거에요. . 아래와 같은 경우입니다. 이번 글에서는 절댓값 기호가 하나만 있는 방정식을 배우도록 할게요. 다음 글에서 절댓값 기호가 두 개 있는 식을 배우도록 합시다. 가장 먼저 할 일은 범위를 나누는 것입니다. 절댓값을 없애야 방정식을 풀 수 있기 때문입니다. 범위는 절댓값 안에 있는 다항식이 0이 되는 값을 기준으로 나뉩니다. 아래처럼 나눠져요. 등호는 어디에 들어가도 상관없습니다. x>-3 에 넣어도 되고 x 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (9) 일차방정식의 정의와 풀이 일차방정식의 정의와 풀이 먼저 방정식이 무엇인지 알아볼게요. 방정식의 정의는 아래와 같습니다. “미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식” 미지수가 있고, 등식으로 표현되어 있으면 방정식이군요. 아래와 같은 형태들이 방정식이 될 수 있습니다. 이번 모듈에서는 ‘일차’ 방정식을 배울 거에요. 미지수의 차수가 1차인 방정식을 일차방정식이라고 부릅니다. 1차부터 배우는 이유는 쉬워서겠죠? 일차 방정식도 미지수의 개수에 따라 여러 종류가 있습니다. 미지수 한 개를 갖는 방정식부터 세 개를 갖는 방정식까지 적어보았어요. 오늘은 위 방정식들 중 미지수가 x 하나인 일차방정식에 대해서만 공부할거에요. x하나를 미지수로 갖는 일차방정식은 ‘x에 대한 일차방정식’ 또는 ‘일차방정식’ 이라고 부릅니다.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (8) 음수의 제곱근의 성질 음수의 제곱근의 성질 와 의 곱이나 나누기를 할 때, a와 b의 부호에 따라 결과가 달라집니다. 지금까지 다룬 경우는 둘다 양수인 경우였습니다. 아래 등식이 성립하구요. 우리는 허수를 배웠기 때문에 a와 b가 음수가 될 수도 있습니다. 이 때 위 등식이 성립하지 않는 예외가 발생하게 되는데요. 예외 상황만 살펴봅시다. 1. a와 b가 모두 음수인 경우의 곱셈 a,b가 둘다 음수인 경우, 곱셈을 통해 하나의 근호로 나타내면 부호가 바뀌게 됩니다. 2. 분모 근호 안이 음수이고 분자 근호 안은 양수인 경우의 나눗셈 분모 근호 안이 음수이고 분자 근호 안은 양수인 경우, 나눗셈을 통해 하나의 근호로 나타내면 부호가 바뀌게 됩니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (7) i의 거듭제곱 i의 거듭제곱 i를 거듭제곱 해봅시다. i, -1, -i, 1 이 반복되는 구조입니다. 따라서 아래와 같은 규칙이 성립합니다.(n은 자연수) 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (6) 복소수가 서로 같을 조건 복소수가 서로 같을 조건 아래 두 복소수가 서로 같으려면 어떤 조건이 성립해야 할까요. 실수는 실수끼리, 허수는 허수끼리 같으면 됩니다. 우변을 0인 경우는 어떤 조건이 성립할까요. 둘다 0이면 됩니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (5) 켤레복소수의 성질 켤레복소수의 성질 켤레복소수를 정의하고 보니 몇가지 성질이 만들어졌습니다. 여섯가지 성질인데요. 유도과정을 함께 적어놓았습니다. 1. 켤레복소수의 켤레복소수는 자기자신이다. 2. 어떤 복소수와 그 켤레복소수의 합은 실수이다. 3. 어떤 복소수와 그 켤레복소수의 곱은 실수이다. 4. 두 복소수의 합(또는 차)의 켤레복소수는 두 복소수의 켤레복소수의 합(또는 차)과 같다. 5. 두 복소수의 곱의 켤레복소수는 두 복소수의 켤레복소수의 곱이다. 6. 두 복소수가 있을 때, 한 복소수로 다른 복소수를 나눈 값의 켤레복소수는 한 복소수의 켤레복소수를 다른 복소수의 켤레복소수로 나눈 값과 같다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (4) 복소수의 교환, 결합, 분배법칙 복소수의 교환, 결합, 분배법칙 실수에서와 같이 복소수에서도 덧셈과 곱셈에 대해 아래 법칙들이 성립합니다. 1. 복소수 덧셈의 교환법칙 두 복소수 a+bi 와 c+di에서 아래 등식이 성립합니다. 따라서, 교환법칙이 성립합니다. 증명은 어렵지 않기 떄문에 앞으로는 생략하겠습니다. 2. 복소수 곱셈의 교환법칙 두 복소수 a+bi 와 c+di 에 대해서 아래와 같이 곱셈의 교환법칙이 성립합니다. 3. 복소수 덧셈의 결합법칙 세 복소수 a+bi, c+di, m+ni 에 대해서 아래와 같이 덧셈의 결합법칙이 성립합니다. 4. 복소수 곱셈의 결합법칙 세 복소수 a+bi, c+di, m+ni 에 대해서 아래와 같이 곱셈의 결합법칙이 성립합니다. 5. 복소수 곱셈의 분배법칙 세 복소수 a+bi, c+di, m+ni .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (3) 복소수의 연산 복소수의 연산 복소수의 사칙연산을 배워봅시다. 1. 복소수의 덧셈과 뺄셈 실수는 실수끼리, 복소수는 복소수끼리 계산합니다. 2. 복소수의 곱셈 분배법칙으로 전개하고, 을 이용해서 계산해줍니다. 3. 복소수의 나눗셈 분모의 켤레복수를 분자와 분모에 곱하여 계산합니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (2) 켤레복소수 켤레복소수 복소수 a+bi 에서 허수부분의 부호가 반대인 복소수를 켤레복소수라고 합니다. a+bi의 켤레복소수는 a-bi 이고, 반대로 a-bi의 켤레복소수도 a+bi 입니다. 순허수도 마찬가지입니다. bi의 켤레복소수는 -bi 이고, -bi의 켤레복소수는 bi 입니다. 켤레복소수를 나타내는 기호를 하나 정의했습니다. 복소수 위에 선을 하나 긋는 것입니다. 의 켤레복소수를 로 나타냅니다. 계산하면 아래와 같습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (1) *허수와 복소수 *허수와 복소수 1. 허수 허수는 영어로 imaginary number입니다. 상상속에 등장하는 수라는 뜻입니다. 이런 상상에서 출발합니다. '제곱해서 음수가 되는 수가 있을까' 이 상상을 방정식으로 표현할 수 있습니다. 억지로 근을 구해보았습니다. 여기서 등장하는 을 허수의 기본단위로 정했습니다. i라고 이름붙였어요. 이번에는 다른 수로 해봅시다. 우변에 있는 수를 아래와 같이 정의하기로 합니다. 허수들을 i로 표현하기 위함입니다. 아래와 같이 허수와 실수를 더한 수도 허수입니다. 2. 복소수 허수의 등장으로 수의 체계가 확장되게 됩니다. 실수까지만 있었던 수체계에서 허수를 포함한 더 큰 범위의 수가 필요해진 것이죠. 허수와 실수를 포함한 수를 '복소수'라고 이름붙였습니다. 영어로는 'complex n.. 2018. 10. 8.
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