[5분 고등수학] 삼각함수의 미분법 유도 (sin, cos)

$\sin x $와 $\cos x $ 의 미분은 아래와 같습니다. 

$(\sin x)' =\cos x$

$(\cos x)' =-\sin x$

하나씩 유도해봅시다. 

 

1) $(\sin x)$ 의 미분

도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$

삼각함수의 덧셈정리를 적용합시다. 

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h}$

$\sin x$로 묶어줍시다. 

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x (\cos h-1)+\cos x \sin h}{h}$

아래와 같이 둘로 분리해서 써줍니다. 

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\sin x (\cos h-1)}{h} +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$

우변 첫항 분자와 분모에 $\cos h +1$을 곱해줍니다. 

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\sin x (\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$

아래와 같이 계산합시다. 

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\sin x (\cos^{2} h-1)}{h(\cos h+1)} +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$

사인과 코사인 제곱합 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\sin x (-\sin^{2} h)}{h(\cos h+1)} +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$

우변 첫항을 아래와 같이 세개의 식으로 분리해줍시다. 

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \sin x \frac{-\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1}  +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$

우번 첫항의 각 극한값은 0, 1, 0입니다. 따라서 셋의 곱은 0입니다. 

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\left\{\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$

우변에서 극한과 무관한 항을 밖으로 꺼내줍니다. 

$(\sin x)'=\cos x\lim_{h\to 0}\left\{\frac{ \sin h}{h} \right\}$

극한값은 아래와 같습니다. 

$(\sin x)'=\cos x$

 

2) $(\cos x)$ 의 미분

도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 

$(\cos x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$

삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 

$(\cos x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h-\sin x \sin h-\cos x}{h}$

우변을 아래와 같이 묶어줍니다. 

$(\cos x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\cos x(\cos h -1)-\sin x\sin h}{h}$

분자를 아래와 같이 분리합니다. 

$(\cos x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\cos x (\cos h-1)}{h} -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$

우변 첫번째 항의 분자와 분모에 $\cos h+1$을 곱해줍니다. 

$(\cos x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\cos x (\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$

아래와 같이 계산해줍니다. 

$(\cos x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\cos x (\cos h^{2}-1)}{h(\cos h+1)} -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$

사인과 코사인 제곱합 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

(\cos x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\cos x (-\sin^{2})}{h(\cos h+1)} -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}

우변 첫항을 아래와 같이 세개의 식으로 분리해줍시다. 

$(\cos x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ \cos x \frac{-\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1}  -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$

우번 첫항의 각 극한값은 0, 1, 0입니다. 따라서 셋의 곱은 0입니다. 

$(\cos x)'=\lim_{h\to 0}\left\{ -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$

우변에서 극한과 무관한 항을 밖으로 꺼내줍니다. 

$(\cos x)'=-\sin x\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{ \sin h}{h} \right\}$

극한값은 아래와 같습니다. 

$(\cos x)'=-\sin x$