[5분 고등수학] 부채꼴 호의 길이와 넓이 (호도법 이용)

 

 

지난 시간에 배운 호도법을 이용하면 부채꼴 호의 길이와 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다. 60분법을 이용할 때와 비교해서 쉽다는 말입니다. 

 

1) 부채꼴의 호의 길이

중심각이 $\theta$,  반지름이 $r$, 호의 길이가 $l$, 넓이가 $S$인 부채꼴을 그렸습니다. 

 

 

원의 둘레 길이는 $2 \pi$ 입니다. 아래와 같은 비례식을 세울 수 있습니다. 

 

$2 \pi r : l=2 \pi : \theta $

 

비례식을 계산합니다. 

 

$2 \pi l =2 \pi r \theta$

 

아래와 같이 약분해줍니다. 

 

$l = r \theta $

 

부채골의 둘레 길이를 반지름과 중심각으로 구할 수 있게 된 것입니다. 이때 중심각은 라디안각입니다. 비례식에서 단위가 삭제되었기 때문에 크기만 남은 라디안각입니다. 예를들어 반지름이 3이고, 중심각이 90도인 부채꼴의 둘레 길이는, 3과 $\frac{\pi}{2}$를 곱한 값입니다. 

 

 

2) 부채꼴의 넓이

중심각이 $\theta$,  반지름이 $r$, 호의 길이가 $l$, 넓이가 $S$인 부채꼴을 그렸습니다. 

 

 

원의 넓이는 $\pi r^{2}$ 입니다. 아래와 같은 비례식을 세울 수 있습니다. 

 

$\pi r^{2} : S = 2\pi : \theta$

 

비례식을 계산해줍니다. 

 

$2\pi S=\theta \pi r^{2}$

 

아래와 같이 약분해줍시다. 

 

$S=\frac{1}{2} \theta r^{2}$

 

반지름과 중심각을 알면 넓이를 구할 수 있게 되었습니다. 이때 $\theta$도 라디안 각이며, 단위는 없습니다. 

 

1번에서 유도한 식을 대입하면 아래와 같이 변형할 수도 있습니다. 

 

$S=\frac{1}{2}rl$