삼각함수에는 아래와 같은 두가지 유명한(?) 극한이 있습니다. 상당히 흥미로운 결과입니다.
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1$
하나씩 유도해 봅시다.
1) $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
원을 하나 그리고 꼭지점이 원의 중심과 호 위에 있는 삼각형을 그려줍니다.
점 A를 지나는 점선을 긋고, OB의 연장선과 만나는 점을 T라고 놓겠습니다.
이때 아래와 같은 부등식이 성립합니다.
△OAB의 넓이 < 부채꼴 OAB 넓이 < △OAT의 넓이
부등식을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다.
$\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x$
각 변에 2를 곱하고, $\sin x$로 나눠줍니다.
$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{\tan x}{\sin x}$
tan의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다.
$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$
역수를 취합니다. 역수를 취하면 부호가 바뀝니다.
$1>\frac{\sin x}{x}<\cos x$
아래와 같이 극한을 취해줍니다. 위 그림에서 x는 항상 양수여야 하므로 0에서의 우극한을 취해줍니다.
$\lim_{x\to 0+}1>\lim_{x\to 0+}\frac{\sin x}{x}<\lim_{x\to 0+}\cos x$
양변이 1로 수렴하므로 극한값은 아래와 같습니다.
$\lim_{x\to 0+}\frac{\sin x}{x}=1$
좌극한도 수렴함을 보여야 0에서의 극한값을 구할 수 있습니다.
x를 -t로 치환합시다.
$\lim_{t\to 0-}\frac{\sin -t}{-t}=1$
$\sin t$는 $-\sin t$입니다.
$\lim_{t\to 0-}\frac{-\sin t}{-t}=1$
-1을 약분합니다.
$\lim_{t\to 0-}\frac{\sin t}{t}=1$
0에서의 좌극한도 1로 수렴합니다. 따라서 아래 극한을 얻습니다.
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
2) $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1$
tan의 성질에 의해 아래 등식이 만족합니다.
$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\frac{\sin x}{x}$
우변의 두 항 모두 수렴하므로 아래와 같이 분리할 수 있습니다.
$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$
두변의 두항 모두 1로 수렴하므로 아래 극한값이 성립합니다.
$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$
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