아르키메데스 방법으로 파이 구하기 (1) 소개

 

 

파이를 구하는 방법은 여러가지가 있습니다. 그 중 파이계산의 고전 아르키메데스 방법을 소개하려고 합니다. 아르키메데스는 고대 그리스 사람인데, BC287~BC212 에 살았던 것으로 추정됩니다. 

 

아르키메데스는 원에 내접하는 정n각형과, 원에 외접하는 정n각형을 이용하여 파이의 근사값을 구했습니다. 정육각형으로 예를들어봅시다. 

 

위와 같이 반지름 1인 원에 내접하는 정육각형과 외접하는 정육각형이 있습니다. 원의 둘레의 길이는 내접하는 정육각형의 둘레의 길이와 외접하는 정육각형의 둘레의 길이의 사이값일 것입니다. 

 

내접 정육각형 둘레 길이(L1) < 원의 둘레 길이 < 외접하는 정육각형 둘레 길이(L2)

 

여기서 원의 둘레 길이는 2π 이므로, 각 항을 2로 나누면 파이의 근사값을 구할 수가 있습니다. 

 

$\frac{L_{1}}{2} < \pi <\frac{L_{2}}{2}$

 

내접하는 정육각형의 둘레 길이는 쉽게 구할 수 있습니다. 6입니다. 외접하는 정육각형의 길이는 아래와 같이 구합니다. 

 

위 방법으로 구하면, 외접하는 정육각형의 둘레의 길이는 $4\sqrt{3}$ 입니다. 따라서 파이의 범위는 아래와 같습니다. 

 

$3 < \pi <2\sqrt{3}$

 

$\sqrt{3}$은 3.464 이므로 위식에 대입하면 파이의 범위는 아래와 같습니다. 

 

$3 < \pi <3.464$

 

이런 원리로 정n각형의 n을 늘려가는 것입니다. 아르키메데스는 정96각형까지 구했다고 합니다. 아르키메 데스가 구한 범위는 아래와 같습니다. 

 

$3.140845... < \pi <3.14285...$

 

둘째자리까지 구했군요.