[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (20) 미정계수의 결정 : x가 a로 가는 경우

[수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(20) 미정계수의 결정 : x가 a로 가는 경우]

미정계수의 결정 : x가 a로 가는 경우

미정계수는 정해지지 않은 계수입니다. 아닐(미), 정할(정) 입니다. 계수는 뭘까요? 변수 앞에 곱해진 값일까요? 계수는 변수를 제외한 모든 값을 말합니다. 상수항도 '계수'입니다. 

미정계수문제의 유형은 x가 어떤 값으로 수렴하는 경우와 무한대로 발산하는 경우로 나뉘는데요. 먼저 x가 어떤 값으로 수렴하는 경우를 살펴봅시다. 

위 수식에서  a가 미정계수입니다. 

미정계수를 결정한다는 것은 극한의 성질을 이용하여 미정계수를 구한다는 것입니다. 위 식에서 분모가 0으로 가고 있습니다. 만약 분자가 어떤 값으로 수렴한다면, 극한값은 무한대로 발산할 것입니다. 그런데 극한값은 -2로 수렴하고 있죠? 따라서 이런 경우 분자도 0으로 수렴해야 합니다. 스포일러를 하면 (x-1)을 소거시킬 인수가 있어야 하죠. 

따라서 분자에 1을 넣었을 때 값이 0이되어야 하고, 이를 통해 아래 등식을 세워 a를 구할 수 있습니다. 

a는 4라는 값을 가집니다. a에 4를 대입하고 수렴값이 -2가 나오는지 확인해봅시다.

아래와 같이 정리해볼 수 있습니다. 

두 함수 f(x)와 g(x)에 대하여,

이라고 할때 아래와 같은 성질을 갖습니다. 

1) g(x)가 0으로 수렴하면, f(x)도 0으로 수렴한다. 

2) f(x)가 0으로 수렴하면, g(x)도 0으로 수렴한다. 단, L이 0이 아니어야 한다. 

2번 이와 같은 조건이 있는 이유를 생각해봅시다. 만약 L이 0이면 왜 안되는걸까요? 아래와 같은 반례가 생기기 때문입니다. 

분모가 0으로 수렴하지 않아도 등식이 성립하는 반례입니다.