[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (32) 최대,최소 정리

[수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(32) 최대,최소 정리]

최대, 최소 정리

어떤 함수가 구간 닫힌구간 [a,b] 에서 연속이라고 합시다. 이 구간에서 함수가 최댓값을 가질까요? 최댓값을 갖지 않는다면 어떤 상황일까요. 

어떤 함수가 구간 [a,b]에서 최댓값을 갖지 않으려면 어느 값에서 발산해야합니다. 어느 값에서 발산하게 되면 연속이 아닙니다. 따라서 어떤 함수가 구간 [a,b]에서 연속이라면 반드시 최댓값을 갖습니다. 

같은 이유로 어떤 함수가 구간 [a,b]에서 연속이라면 최솟값도 같습니다. 

정리하면 이렇습니다. 

"어떤 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다"

위 명제가 최대,최소정리입니다. 

사실 직관적으로 받아들일 수 있는 너무 당연한 내용입니다. 그런데 위와 같은 증명은 수학적으로 엄밀한 증명은 아닙니다. 위 내용을 수학적으로 엄밀하게 증명하는 것은 생각보다 쉽지 않습니다. 원래 당연한걸 증명하는게 더 어렵습니다.