[5분 고등수학] 미분 가능일 조건

 

 

우리는 함수 f(x)가 x=a에서 극한이 존재할 조건과, 연속일 조건을 배웠습니다. 극한이 존재할 조건이 연속일 조건을 포함하는 개념이었습니다. 

극한이 존재 $\supset$ 연속

연속이면 반드시 극한이 존재하지만, 그 반대는 성립하지 않습니다. 극한이 존재하는 경우 중에서 일부 연속인 경우가 존재하는 것입니다. 

 

오늘은 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능일 조건과 우리가 배운 세가지 조건들의 포함관계를 배워볼 것입니다. 

 

1) 미분가능일 조건
2) 조건들의 포함관계

 

 

1) 미분가능일 조건

함수 f(x)가 x=a에서 미분가능일 조건은 아래와 같습니다. 

"x=a에서의 우미분계수와 좌미분계수가 같다"

우미분계수와 좌미분계수가 무엇인지 먼저 알아봅시다. 아래 그림을 봅시다. 

x=a에서 미분계수를 구하려는 상황입니다. 두가지 방법으로 구할 수 있읍니다. 첫번째 방법은 x보다 h만큼 큰 점을 잡고 평균변화율을 정의한 뒤, h를 0으로 보내는 것입니다. 

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$

이 값이 우미분계수입니다. x=a의 '오른쪽'에서 다가오며 미분계수를 구하기 때문에 붙여진 이름입니다. 

좌미분 계수는 a에서 h만큼 작은 곳에서 다가오면 됩니다. 

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{a-(a-h)}$

이 두 값이 같을 때 f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 말합니다. 

 

 

2) 조건들의 포함관계

극한이 존재할 조건, 연속일 조건, 미분가능일 조건들 사이의 포함관계를 알아내려고 합니다. 먼저 아래 명제가 참인지 알아봅시다. 

"f(x)가 x=a에서 미분가능이면 연속이다"

증명해 봅시다. f(x)가 x=a에서 미분가능하다면 아래와 같이 미분계수가 존재합니다. 

$f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

양면에 아래 극한값을 곱해줍시다. 

$f'(a) \times  \lim_{x\rightarrow a}(x-a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times  \lim_{x\rightarrow a}(x-a)$

두 극한값 모두 수렴하기 때문에 하나로 합칠 수 있습니다. 

$f'(a) \times  \lim_{x\rightarrow a}(x-a)=\lim_{x\rightarrow a}f(x)-f(a)$

좌변은 0이 됩니다. 

$0=\lim_{x\rightarrow a}f(x)-f(a)$

따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

극한값과 함수값이 같으므로 '연속'이 됩니다. 미분가능하면 연속이라는 것이 증명되었습니다. 

반대도 성립할까요? 연속이어도 미분가능할까요?

성립하지 않습니다. 아래 반례가 존재합니다. 

 

연속이지만 우미분계수와 좌미분계수가 다릅니다. 뾰족한 부분을 '첨점'이라고 합니다. 

따라서 연속과 미분가능중 더 큰 개념은 연속입니다. 연속인 경우 중에서 미분가능한 경우가 존재합니다. 포함 관계는 아래와 같습니다. 

극한이 존재 $\supset$ 연속 $\supset$ 미분가능