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고등수학 5분증명(2009개정)/확률과 통계

[5분 고등수학] 정규분포의 표준화 원리

by bigpicture 2022. 3. 15.
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정규분포의 표준화는 평균이 m이고 분산이 시그마제곱인 정규분포를 평균이 0이고 분산이 1인 표준정규분포로 바꾸는 것을 의미합니다.

 

N(m,σ2)      N(0,12)

 

정규분포의 확률변수를 X라고 놓고, x를 어떻게 변형해야 표준정규분포를 따르게 될 지 생각해봅시다. 

 

먼저 X의 평균은 m인데평균을 0으로 만들고 싶은 상황이므로 X에서 m을 빼면 됩니다.

 

E(X)=m

 

E(Xm)=E(X)m=0

 

따라서 확률변수는 아래와 같이 바꿔주면 됩니다.

 

X      Xm

 

분산을 1로 만들기 위해서 X-m을 시그마로 나눠줍시다.

 

V(X)=σ2

 

V(Xm)=σ2

 

V(Xmσ)=V(X)σ2=1

 

따라서 확률변수는 아래와 같이 바꿔주면 됩니다.

 

X      Xm    Xmσ

 

새롬게 정의된 확률변수는 표준정규분포를 따르게 됩니다. 이 확률변수를 Z라고 놓겠습니다.

 

  Xmσ=ZN(0,12)

 

이 과정이 정규분포의 표준화입니다.

 

정규분포의 표준화는 어디에 사용하는걸까요정규분포의 표준화하는 이유는 "표준정규분포표"를 사용하기 위함입니다표준정규분포표는 다양한 a 값에 대해 아래 확률을 구해놓은 표입니다.

 

P(0Za)

 

우리가 평균이 m이고 분산이 시그마 제곱인 정규분포에서 확률을 구해야 하는 상황이 생긴다고 합시다.

 

P(bXa)

 

이때표준화를 적용하여 표준정규분포로 바꿉니다.

 

P(bmσZamσ)

 

표준정규분포표를 이용하여 위 확률을 구하면 됩니다.

 

정규분포의 표준화는평균이 m이고 분산이 시그마 제곱인 정규분포를 평균이 0이고 분산이 1인 표준정규분포에 '대응'을 시킨 것입니다이렇게 대응을 시켰을 때 그 넓이가 동일하다는 성질을 만족합니다이 원리가 성립하기 때문에 표준정규분포표를 이용할 수 있습니다.

 

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