[5분 고등수학] 표본평균의 평균과 분산

 

 

먼저 모집단에서 표본을 뽑는 상황을 가정해봅시다. 모집단은 영어로 population 이라고 합니다. 모집단의 평균을 m, 모집단의 분산을 σ² 라고 합시다. 모집단의 평균이나 분산과 같은 모집단의 통계량을 '모수'라고 합니다.

 

모수 : 모집단의 통계량

 

모집단을 하나 가정하고 표본을 뽑아봅시다. 모집단은 대한민국 국민이고, 우리가 궁금한 것은 대한민국 국민의 키라고 해봅시다. 대한민국 국민 전체 키의 평균을 냈더니 m이었고, 분산이 σ² 였습니다. 그런데, 이런 평균과 분산이 존재하는 것은 확실하지만 실제로 구할 수 가 있을까요? 모든 국민을 다 조사해서 구하는 것은 불가능합니다. 이런 이유로 표본을 뽑는 것입니다. 국민의 일부를 표본으로 뽑아서 그 키를 측정하는 겁니다.

 

1) 표본평균의 평균 

첫번째 표본을 뽑았다고 해봅시다. 크기는 n이라고 하겠습니다. 이 표본의 평균을 구할 수 있습니다. 첫번째 표본의 평균을 아래와 같이 놓겠습니다.

 

${\overline {X}}_1$

 

표본을 하나 더 뽑습니다. 두번째 표본의 평균은 아래와 같이 놓겠습니다.

 

${\overline {X}}_2$

 

이렇게 표본을 계속 뽑았을 때, 표본평균들의 평균이 어떻게 되는지가 오늘의 주제입니다. 여기서 헷갈리지 말아야할 것은, 표본 하나의 평균이 아니라는 것입니다. 표본평균 들의 평균을 구할것입니다. 

 

표본을 무한히 뽑고, 그 평균들의 평균을 계산하는 식은 아래와 같습니다.

 

$\lim _{{k}\to {\infty }}^{ }{\frac{{\overline {X}}_1+{\overline {X}}_2+...+{\overline {X}}_k}{k}}$

 

k가 커질 수록 표본평균의 평균은 모집단의 평균에 가까워져 갑니다.

 

$E\left(\overline {X}\right)=\lim _{{k}\to {\infty }}^{ }{\frac{{\overline {X}}_1+{\overline {X}}_2+...+{\overline {X}}_k}{k}}=m$

 

2) 표본평균의 분산  

표본평균의 분산은 모분산을 표본의 크기 n으로 나눈 것과 같습니다.

 

$V\left(\overline {X}\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}$

 

고등학교 과정에서 증명을 하지는 않는데, 고등학교 수준에서 증명이 가능합니다. 궁금하신 분들을 위해 강의 링크를 걸어 놓겠습니다.