[5분 고등수학] 이항분포의 분산,표준편차 유도하기

 

 

지난 글에서 이항분포의 평균을 구해봤는데요. 오늘은 분산을 구해보겠습니다.

 

확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따른다고 합시다. 확률변수 X의 분산은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

$V\left(X\right)=E\left({X}^2\right)-{\left\{{E\left(X\right)}\right\}}^2$

 

이항분포의 평균은 np이므로 아래와 같이 변형됩니다.

 

$V\left(X\right)=E\left({X}^2\right)-{\left(np\right)}^2$

 

x제곱의 평균을 시그마형태로 쓰면 아래와 같습니다.

 

$V\left(X\right)=\sum _{x=0}^n\left\{{{x}^2\cdot _n{C}_x\cdot {p}^x\cdot {\left(1-p\right)}^{n-x}}\right\}-{\left(np\right)}^2$

 

x에 0을 넣으면 값이 0이므로 1부터 시작해도 됩니다.

 

$V\left(X\right)=\sum _{x=1}^n\left\{{{x}^2\cdot _n{C}_x\cdot {p}^x\cdot {\left(1-p\right)}^{n-x}}\right\}-{\left(np\right)}^2$

 

아래와 같이 x를 둘로 나눕시다.

 

$V\left(X\right)=\sum _{x=1}^n\left\{{x\cdot \textcolor{#ff0010}{x\cdot _n{C}_x\cdot {p}^x\cdot {\left(1-p\right)}^{n-x}}}\right\}-{\left(np\right)}^2$

 

 빨간 부분은 지난시간에 평균을 계산할 때 나왔던 식입니다. 같은 방법으로 치환해줍니다. n-1=m으로 치환하고, x-1=k로 치환한 것입니다.

 

확률변수 X가 이항분포 $B(n,p)$ 를 따를 때, 평균과 분산과 표준편차는 아래와 같습니다. 확률변수 X가 이항분포 $B(n,p)$를 따를 때, 평균과 분산과 표준편차는 아래와 같습니다. ​

 

$E\left(X\right)=np$

$V\left(X\right)=npq$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{npq}$

 

따라서 x도 k+1로 치환할 수 있습니다.

 

$V\left(X\right)=np\sum _{k=0}^m\left\{{\left(k+1\right)\cdot \textcolor{#ff0010}{\frac{m!}{k!\left(m-k\right)!}\cdot {p}^x\cdot {\left(1-p\right)}^{m-k}}}\right\}-{\left(np\right)}^2$

 

(k+1)을 전개하겠습니다.

 

$V\left(X\right)=np\left\{\textcolor{#00b3f2}{{\sum _{k=0}^m\left\{{k\cdot \frac{m!}{k!\left(m-k\right)!}\cdot {p}^x\cdot {\left(1-p\right)}^{m-k}}\right\}}}+\\ \textcolor{#ff0010}{\sum _{k=0}^m\left\{{\frac{m!}{k!\left(m-k\right)!}\cdot {p}^x\cdot {\left(1-p\right)}^{m-k}}\right\}}\right\}-{\left(np\right)}^2$

 

위 식에서 파란식은 이항분포 $B(m,p)$의 평균입니다. 값은 mp입니다.  빨간식은 이항분포 B(m,p)의 확률을 전부 더한 것입니다. 값은 1입니다.

 

$V\left(X\right)=np\left({mp+1}\right)-{\left(np\right)}^2$

 

치환했던 m을 다시 n-1로 돌려놓겠습니다.

 

$V\left(X\right)=np\left({\left(n-1\right)p+1}\right)-{\left(np\right)}^2$

 

전개합시다.

 

$V\left(X\right)=np\left({np-p+1}\right)-{\left(np\right)}^2$

 

한번 더 전개합시다.

 

$V\left(X\right)={\left(np\right)}^2-n{p}^2+np-{\left(np\right)}^2$

 

$V\left(X\right)=-n{p}^2+np$

 

인수분해합니다.

 

$V\left(X\right)=np\left(1-p\right)$

 

1-p는 q로 나타내기로 했으므로 분산은 아래와 같습니다.

 

$V\left(X\right)=npq$

 

표준편차는 분산에 루트를 씌우면 됩니다.

 

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{npq}$

지난 글과 이번 글에서 유도한 내용을 정리해봅시다.

 

확률변수 X가 이항분포 $B(n,p)$ 를 따를 때, 아래 수식들이 성립합니다. 확률변수 X가 이항분포 $B(n,p)$를 따를 때, 아래 수식들이 성립합니다​

 

$\textcolor{#ff0010}{E\left(X\right)=np}$

$\textcolor{#ff0010}{V\left(X\right)=npq}$

$\textcolor{#ff0010}{\sigma \left(X\right)=\sqrt{npq}}$