[고급 행렬 연산] 1. 행렬과 벡터의 곱의 성분을 시그마로 나타내기

1. 행렬 X 벡터

아래와 같이 벡터 하나와 행렬 하나가 있다고 합시다. 

 

$\vec{a}=\left [ a_{1},\cdots,a_{n} \right ]$

 

$A=\begin{bmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1n}\\ 
\vdots  &  &\vdots \\ 
A_{m1} & \cdots & A_{mn}
\end{bmatrix}$

 

벡터는 크기가 n인 열벡터라고 가정하겠습니다. 편의상 행벡터 형태로 나타내긴 했는데 열벡터라고 생각해주세요. 행렬은 m행 n열의 행렬입니다. 아래와 같이 행렬 A와 벡터 a를 곱한 결과를 벡터 b라고 놓겠습니다. 

 

$\vec{b}=A\vec{a}$

 

b는 크기가 n인 열벡터입니다. b의 i번쨰 성분을 $\vec{b}_{i}$ 라고 놓고 $b_{i}$를 벡터 a와 행렬 A의 성분으로 나타내는 것이 목적입니다. 몇가지 $b_{i}$ 를 계산해보면 아래와 같습니다. 

 

$b_{1}=A_{11}a_{1}+\cdots+A_{1n}a_{n}$

$b_{2}=A_{21}a_{1}+\cdots+A_{2n}a_{n}$

 

위 규칙을 적용하면 $b_{i}$는 아래와 같습니다. 

 

$b_{i}=A_{i1}a_{1}+\cdots+A_{in}a_{n}$

 

시그마를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$b_{i}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}a_{k}$

 

2. 벡터 X 행렬

아래와 같이 벡터 하나와 행렬 하나가 있다고 합시다. 

 

$\vec{a}=\left [ a_{1},\cdots,a_{m} \right ]$

 

$A=\begin{bmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1n}\\ 
\vdots  &  &\vdots \\ 
A_{m1} & \cdots & A_{mn}
\end{bmatrix}$

 

벡터는 크기가 m인 열벡터라고 가정하겠습니다. 편의상 행벡터 형태로 나타내긴 했는데 열벡터라고 생각해주세요. 행렬은 m행 n열의 행렬입니다. 열벡터를 transpose 하여 행벡터로 만들고 행렬과 곱하겠습니다. 곱한 결과를 벡터 b라고 놓겠습니다. 

 

$\vec{b}=\vec{a}^{T}A$

 

b는 크기가 n인 행벡터입니다. b의 i번쨰 성분을 $\vec{b}_{i}$ 라고 놓고 $b_{i}$를 벡터 a와 행렬 A의 성분으로 나타내는 것이 목적입니다. 몇가지 $b_{i}$ 를 계산해보면 아래와 같습니다. 

 

$b_{1}=A_{11}a_{1}+A_{m1}a_{m}$
$b_{2}=A_{12}a_{1}+A_{m2}a_{m}$

위 규칙을 적용하면 $b_{i}$ 는 아래와 같습니다. 

$b_{i}=A_{1i}a_{1}+A_{mi}a_{m}$

시그마를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$b_{i}=\sum_{k=1}^{m}A_{ki}a_{k}$