[고급 행렬 연산] 5. (AB)^{T}=B^{T}A^{T}

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ 를 증명해봅시다. A와 B는 행렬입니다. 

행렬 A와 B의 곱을 C라고 놓겠습니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. 

$(AB)^{T}_{ij}=C^{T}_{ij}=C_{ji}$

$C_{ji}$ 를 변형하겠습니다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$C_{ji}=\sum_{k=1}^{n}A_{jk}B_{ki}=\sum_{k=1}^{n}B_{ki}A_{jk}=\sum_{k=1}^{n}(B^{T})_{ik}(A^{T})_{kj}=(B^{T}A^{T})_{ij}$

따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$(AB)^{T}_{ij}=(B^{T}A^{T})_{ij}$

아래 등식이 유도됩니다. 

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$