[5분 고등수학] 평면 위 운동에서 점이 움직인 거리

 

입자 P가 좌표평면 위를 움직이고 있습니다.

시간이 0일때 어느 위치에 있었구요. 시간 t까지 이동한 거리를 s(t)라고 놓겠습니다. 

입자 P는 시간 t일때 점 $A(x,y)$ 에 있었습니다. $\Delta t$ 라는 시간이 흘렀구요. 입자는 점 $B(x+\Delta x, y+ \Delta y)$로 이동했습니다. 

시간 t가 아주 작다면, 이동거리 Δs를 선분 AB로 근사시킬 수 있습니다. 

$\frac{ds}{dt}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\overline{AB}}{\Delta t}=\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}}$

따라서 아래 등식이 성립합니다.

위 식 양변에 dt를 곱합니다. 

$\frac{ds}{dt}=\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}}$

양 변에 dt를 곱합니다.

$ds=\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}}dt$

시간 a까지 이동한 거리를 s1, 시간 b까지 이동한 거리를 s2라고 한다면. 아래와 같이 적분할 수 있습니다. 

$s_{2}-s_{1}=\int_{a}^{b} \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}}dt$

$s_{2}-s_{1}$은 시간 a에서 b까지 이동한 거리입니다.