[5분 고등수학] 곡선의 길이

 

 

$y=f(x)$ 라는 함수를 고려해봅시다.

임의의 점 A를 $(x, f(x))$ 라고 놓구요. 점 B를 $(x+ \Delta x, f(x+\Delta x))$ 라고 놓겠습니다. 

점 A부터 점 B에 이르는 곡선의 길이를 $\Delta l$ 이라고 놓겠습니다. 

$\Delta x$ 가 0으로 갈 때 아래와 같이 근사식을 적용할 수 있습니다. 

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta l =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \overline{AB}$

A와 B의 좌표를 이용해서 선분 AB를 표현해봅시다. 

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta l =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\sqrt{\left [ f(x+\Delta x)-f(x) \right ]^{2}+(\Delta x)^{2}}$

양변을 $\Delta x$ 로 나눕시다.
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$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{ \Delta l}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{\left [ f(x+\Delta x)-f(x) \right ]^{2}+(\Delta x)^{2}}}{\Delta x}$

$\Delta x$를 루트 안에 넣어줍시다. 

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{ \Delta l}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sqrt{\left [ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right ]^{2}+1}$

좌 우변의 극한값은 아래와 같습니다. 

$\frac{dl}{dx} =\sqrt{\left [ f'(x) \right ]^{2}+1}$

양변에 dx를 곱합시다.

$dl=\sqrt{\left [ f'(x) \right ]^{2}+1}\ dx$

x=a 부터 x=b 까지의 길이는 아래 적분을 통해 구할 수 있습니다. 

$l_{ab}=\int_{a}^{b}\sqrt{\left [ f'(x) \right ]^{2}+1}\ dx$