[5분 고등수학] 원의 벡터방정식

원의 정의는 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 집합입니다. 

이 일정한 거리를 반지름 r이라고 놓구요. 

한 점을 $C(a,b)$ 라고 놓겠습니다. 이 점의 위치벡터를 $\vec{c}$ 라고 합시다. 

이 원 위의 임의의 점을 $P(x,y)$라고 하겠습니다. 점 P의 위치벡터를 $\vec{p}$ 라고 합시다.

 

​벡터 CP의 길이는 r이므로 아래 등식이 성립합니다. 

​$\left | \overrightarrow{CP} \right |=r$    (1)
 
벡터 $\left | \overrightarrow{CP} \right |$ 를 $\vec{c}$ 와 
$\vec{p}$ 로 표현하면 아래와 같습니다. 

​$\overrightarrow{CP}=\vec{p}-\vec{c}$

(1) 번식에 대입하면 아래와 같이 변형됩니다. 

$\left | \vec{p}-\vec{c} \right |=r$

위 식이 원의 벡터방정식입니다. 

스칼라 방정식 형태로 바꿀 수도 있습니다. 위 식의 양변을 제곱합시다.

$\left ( \vec{p}-\vec{c} \right ) \cdot \left ( \vec{p}-\vec{c} \right )=r^{2}$
​
좌변의 벡터를 성분으로 나타내봅시다. 

​$\left (x-a,y-b \right ) \cdot \left ( x-a,y-b \right )=r^{2}$

좌변의 내적을 계산하면 아래와 같습니다. 

$\left ( x-a \right )^{2}+\left ( x-b \right )^{2}=r^{2}$

​원의 스칼라방정식입니다.