[5분 고등수학] 삼수선의 정리

한 평면 α가 있습니다. 이 평면 위에 점 O가 있습니다. 이 평면 위에 있지 않은 한 점 P를 찍겠습니다. 그리고 평면 위에 있지만 O와 만나지는 않는 직선 l 을 그어봅시다. 마지막으로 직선 l위에 있는 한 점 H를 찍겠습니다. 

 

셋팅이 끝났습니다. 이런 상황에서 직선의 수직관계에 대해 세가지 명제가 성립하는데요. 이 세 명제를 삼수선 정리라고 합니다. 하나씩 알아봅시다.

1) $\overline{PO} \perp \alpha$, $\overline{OH} \perp l$ 이면 $\overline{PH} \perp l$

증명해봅시다. $\overline{PO}$ 가 $\alpha$ 와 수직이라면 $\overline{PO}$ 는 이 평면위의 직선 l과 수직입니다. 따라서 $\overline{PO}$ 와 $\overline{OH}$로 만들어진 평면 $\beta$ 가 직선 $l$ 과 수직관계이죠. $\overline{PH}$는 이 평면 위에 있기 때문에 $l$ 과 수직입니다. 

2) $\overline{PO} \perp \alpha$, $\overline{PH} \perp l$ 이면 $\overline{OH} \perp l$

증명해봅시다. $\overline{PO}$가 $\alpha$ 와 수직이라면 $\overline{PO}$는 이 평면위의 직선 $l$ 과 수직입니다. 따라서 \overline{PO}$와 \overline{PH}$로 만들어진 평면 $\beta$ 가 직선 $l$ 과 수직관계이죠. $\overline{OH}$는 이 평면 위에 있기 때문에 $l$ 과 수직입니다. 

2) $\overline{PO} \perp \alpha$, $\overline{PH} \perp l$, $\overline{PO} \perp \overline{OH}$, 이면 $\overline{PO} \perp \alpha$

증명해봅시다. $\overline{PH}$ 와 $l$ 이 수직이고, $\overline{OH}$ 와 $l$ 이 수직이므로 $\overline{PH}$ 와 $\overline{OH}$로 만들어지는 평면 $\beta$ 와 $l$ 이 수직입니다. 따라서 이 명면위의 선분 $\overline{PO}$와 $l$ 이 수직입니다. $\overline{PO}$와 $\overline{OH}$ 도 수직이므로, $\overline{OH}$ 와 $l$로 결정되는 평면 $\alpha$ 와도 수직입니다. 따라서 $\overline{PO}$와 $\alpha$ 는 수직입니다.