[5분 고등수학] 타원의 접선의 방정식(타원 밖의 한점)

 

 

오늘은 타원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다.

 

1. 초점이 x축 위에 있는 타원

초점이 x축 위에 있는 타원의 방정식은 아래와 같습니다.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{ y^{2} }{ b^{2} } =1 \  \left ( a^{2}=b^{2}+c^{2} \right )$

타원 외부의 한 점 $(p,q)$ 에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 타원에 접선을 그려보시면 접선은 두개가 있다는 것을 알 수 있습니다. 

접하는 점을 $(x_{1},y_{1})$이라고 놓겠습니다. 접선의 방정식에 대입하면 아래 식이 성립합니다. 

$\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} =1$

양변에 을 곱하면 아래와 같이 됩니다. 

$b^{2}x_{1}^{2} + a^{2}y_{1}^{2} = a^{2}b^{2}$

이제 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 기울기를 구해봅시다. 유도했던 타원 위의 점의 접선의방정식을 이용합시다. 

$\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1$

이 접선의 방정식 위에 p,q도 있기 때문에 아래와 같이 대입할 수 있습니다. 

$\frac{x_{1}p}{a^{2}}+\frac{y_{1}q}{b^{2}}=1$

1,2식을 연립해서 x1과 y1을 구하면 됩니다. 공식화하는 것이 불가능하지는 않지만 너무 복잡한 식이 될겁니다. 

풀이 방법을 익히셔서 문제를 푸시면 됩니다. 

초점이 y축에 있는 타원도 방법은 동일합니다. 풀이는 생략하도록 하겠습니다.