[5분 고등수학] 정적분의 삼각치환 적분법

 

 

삼각함수로 치환해야 적분을 계산할 수 있는 경우가 있습니다. 아래와 같은 경우들입니다. 

$\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$

$\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx$

$\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx$

a는 양수입니다. 하나씩 풀어봅시다. 

 

1) $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$

x를 $a\sin \theta$로 치환합시다. 이때 변수 x가 치환될 변수는 $\theta$입니다. 

$x=a\sin\theta$

$\theta$의 적분 구간도 구해주여야 하는데요. x가 $x_{1}$에서 $x_{2}$까지 변할 때 $\theta$의 범위를 알아야 합니다. 여기서 주의할 점은 $a\sin\theta$ 는 -a~a 사이 값 밖에 갖지 못한다는 것입니다. 따라서 x 범위가 -a~a 안에 존재하는 경우에만 치환적분이 가능합니다. 

 

예를 들어봅시다. x의 적분구간이 0~a 이라면 $\theta$의 범위는 어떻게 될까요? 아래 그래프를 봅시다. 

 

 

$a\sin\theta$ 값이 0~a가 되게 하는 $\theta$ 구간은 무수히 많습니다. $(0,\frac{\pi}{2})$,  $(2\pi,\frac{5\pi}{2})$ 등이 있습니다. 일반적으로 계산이 가장 편리한 $\left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$를 구간으로 사용합니다. 

 

$x_{1} \sim x_{2}$ 가 되는 $\theta$의 구간을 $\theta_{1}~\theta_{2}$라고 합시다. 

 

$x=a\sin\theta$ 의 양변을 미분합시다. 

 

$dx=a\cos\theta d\theta$

 

원래의 식에 대입합시다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta}a\cos\theta d\theta$

 

아래와 같이 $a^{2}$으로 묶어줍니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\sqrt{a^{2}\left( 1-\sin^{2}\theta \right)}a\cos\theta d\theta$

 

$1-\sin^{2}\theta$는 $\cos^{2}\theta$ 이므로 아래와 같이 변형합니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\sqrt{a^{2}\left( \cos^{2}\theta \right)}a\cos\theta d\theta$

 

$\left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ 범위에서 $\cos\theta$ 는 항상 양수이므로 아래와 같이 루트를 벗길 수 있습니다. a도 양수입니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}a \cos\theta a\cos\theta d\theta$

 

아래와 같이 계산해줍니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}a^{2} \cos^{2}\theta d\theta$

 

$\cos^{2}\theta$는 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}a^{2} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta$

 

적분을 계산합니다. 

 

$a^{2}\left[ \frac{1}{2}\theta +\frac{\sin 2\theta}{4} \right]^{\theta_{2}}_{\theta_{1}}$

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

$a^{2}\left[ \frac{1}{2}\left( \theta_{2}-\theta_{1} \right) +\frac{\sin 2\left( \theta_{2}-\theta_{1} \right)}{4} \right]$

 

2) $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx$

x를 $a\sin \theta$로 치환합시다. 

 

$x=a\sin\theta$

 

$x=a\sin\theta$ 의 양변을 미분합시다.

 

$dx=a\cos\theta d\theta$

 

원래의 식에 대입합시다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta}} \cdot a\cos\theta d\theta$

 

$a^{2}$으로 묶어줍니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}\left( 1-\sin^{2}\theta \right)}}\cdot dx=a\cos\theta d\theta$

 

$1-\sin^{2}\theta$는 $\cos^{2}\theta$ 이므로 아래와 같이 변형합니다.

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}}\cdot dx=a\cos\theta d\theta$

 

루트를 벗겨줍니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\frac{1}{a\cos\theta}\cdot a\cos\theta d\theta$

 

약분해줍니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}1d\theta$

 

적분을 계산합니다. 

 

$\left[ \theta \right]^{\theta_{2}}_{\theta_{1}}=\theta_{2}-\theta_{1}$

 

3) $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx$

x를 $a\tan \theta$로 치환합시다. 

 

$x=a\tan\theta$

 

$x=a\tan\theta$ 의 양변을 미분합시다.

 

$dx=a\sec^{2}\theta d\theta$

 

원래의 식에 대입합시다. 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\frac{1}{a^{2}+a^{2}\tan^{2}\theta}\cdot a\sec^{2}\theta d\theta$

 

$a^{2}$으로 묶어줍니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\frac{1}{a^{2}\left( 1+\tan^{2}\theta \right)}\cdot a\sec^{2}\theta d\theta$

 

$1+\tan^{2}\theta$ 는 $\sec^{2}\theta$ 이므로, 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\frac{1}{a^{2}\left( \sec^{2}\theta \right)}\cdot a\sec^{2}\theta d\theta$

 

약분해줍니다. 

 

$\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\frac{1}{a} d\theta$

 

적분을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{1}{a}\left(\theta_{2}-\theta_{1} \right)$