[5분 고등수학] 역함수의 미분법

 

 

함수 f(x)의 역함수를 g(x)라고 놓겠습니다. 이때 아래 두 등식이 성립합니다. 

$f^{-1}(x)=g(x)$

$f\circ g(x)=f(g(x))=x$

아래 식의 양변을 미분합시다. 

$f(g(x))=x$

미분 결과는 아래와 같습니다. 

$f'(g(x))g'(x)=1$

아래와 같이 변형합시다. 

$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$

역함수의 미분공식이 유도되었습니다. 예시 문제를 하나 풀면서 어떻게 사용되는지 알아봅시다. 

$f(x)$와 $g(x)$가 서로 역함수 관계이다. 
$f'(1)=5,f(1)=3$일 때, $g'(3)$을 구하여라.

우리가 유도한 공식의 x자리에 3을 대입합시다. 

$g'(3)=\frac{1}{f'(g(3))}$

f(1)=3이므로, 역함수 관계에 의해 g(3)=1 입니다. 따라서 아래와 같이 변형됩니다. 

$g'(3)=\frac{1}{f'(1)}$

$f'(1)$은 5이므로, 대입하면 아래와 같습니다. 

$g'(3)=\frac{1}{5}$