[5분 고등수학] 최대 최소의 정리, 중간값 정리

 

 

오늘 배워볼 내용은 아래 두가지 정리입니다. 

1) 최대 최소의 정리
2) 중간값(사잇값)정리

두 내용은 고등학교 수학 수준에서는 증명이 불가능합니다. 의미만 이해할 수 있습니다. 

 

1) 최대 최소의 정리

최대최소의 정리는 아래와 같습니다. 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 

어떤 의미인지 그래프를 통해 이해해봅시다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라면 아래와 같은 형태의 그래프입니다. 

 

 

구간 내에 발산하는 곳이 없기 때문에 최댓값과 최솟값은 항상 존재합니다.

 

그림으로 보면 너무 당연한데, 당연한 내용일 수록 증명이 어렵습니다. 

 

함수가 구간 [a,b]에서 연속이 아니면 최대최소 정리는 성립하지 않습니다. 아래 함수는 구간 [a,b]에서 최댓값이 없습니다. 

 

 

 

2) 중간값(사잇값)정리

중간값(사잇값)정리는 아래와 같습니다. 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 $f(a) \neq f(b)$ 라면, f(a)와 f(b) 사이의 임의의 실수 k에 대하여 $f(c)=k$ 인 c가 열린구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다. 

 

어떤 의미인지 그래프를 통해 이해해봅시다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라면 아래와 같은 형태의 그래프입니다.

 

 

f(a)와 f(b) 사이에 어떤 실수 k가 있다고 합시다. 

 

 

이때, 함수값이 k인 c가 (a,b)인 구간에 항상 존재한다는 의미입니다. 

 

 

함수가 구간 [a,b]에서 연속이 아니면 최대최소 정리는 성립하지 않습니다. 아래 함수는 함수값이 k인 c가 (a,b)인 구간에 존재하지 않습니다.