황금비 시리즈 (1) 황금비 직접 구해보기

 

 

황금비가 무엇인지 먼저 알아봅시다. 아래와 같이 길이가 L인 선이 있습니다. 

 

이 선을 둘로 나눠봅시다. 

 

전체 길이 L과 긴 선 a의 비와, 긴선 a와 짧은선 b의 비가 같을 때 그 비율을 황금비라고 합니다. 한번 구해봅시다. 두가지 식을 세울 수 있습니다.

 

$L=a+b$

 

$L:a=a:b$

 

두번째 식에 첫번째 식을 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$a+b:a=a:b$

 

외항의 곱은 내항의 곱입니다. 

 

$a^{2}=ab+b^{2}$

 

좌변으로 이항합시다. 

 

$a^{2}-ab-b^{2}=0$

 

$a$에 대한 이차식으로 이해하고 근의공식을 써봅시다. 

 

$a=\frac{b\pm \sqrt{b^{2}-4(-b^{2})}}{2}$

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

$a=\frac{b\pm \sqrt{5b^{2}}}{2}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$a=\frac{b\pm \sqrt{5}b}{2}$

 

우변을 $b$로 묶어줍시다. 

 

$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}b$

 

우리가 설정한 상황에서 a와 b는 '길이'이므로 양수여야 합니다. 따라서 아래 수식만 남습니다. 

 

$a=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}b$

 

황금비는 $a:b$ 이므로 위 식을 대입하면 황금비는 아래와 같습니다. 

 

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}:1$