황금비 시리즈 (2) 별에 들어있는 황금비

 

 

지난 글에서 직접 구해본 황금비는 아래와 같습니다. 

 

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}:1$

 

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$는 대략 1.618034 입니다. 따라서 황금비의 근사값은 아래와 같습니다.

 

1.618:1

 

가까운 정수비 근사값으로는 8:5, 16:9 가 있습니다. 

 

신용카드 종횡비, 디스플레이 16:9비율, 비너스상 다비드상 비율, 파르테논신전, 앵무조개 등은 황금비의 근사값에 가까운 비율이며 진짜 황금비는 아닙니다. 

 

진짜 황금비 중 하나를 소개합니다. 오각형 별에 들어있는 황금비입니다

 

정오각형의 꼭지점을 연결하여 만들어지는 별을 펜타그램(pentagram)이라고 합니다. 

위 그림에서 a:b, b:c, c:d 는 모두 황금비를 이룹니다.

 

증명해봅시다. 정오각형의 한 변은 b와 같고, 각도들은 아래와 같습니다. 

 

$\bigtriangleup BDE$와 $\bigtriangleup AFE$가 닮음이므로 아래 비례식이 성립합니다. 

 

$a:b=b:c$

 

외항의 곱은 내항의 곱이므로 아래 등식이 성립합니다. 

 

$b^{2}=ac$

 

$a=b+c$ 이므로 위 식에 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$b^{2}=a(a-b)$

 

아래와 같이 정리합시다. 

 

$a^{2}-ab-b^{2}=0$

 

$a$에 대해서 근의공식을 적용하면 아래와 같습니다. 

 

$a=\frac{b\pm \sqrt{b^{2}-4(-b^{2})}}{2}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$a=\frac{b\pm \sqrt{5b^{2}}}{2}$

 

아래와 같이 변영합시다. 

 

$a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}b$

 

$a$는 길이므로 양수입니다. 

 

$a=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}b$

 

따라서 $a:b$는 아래와 같습니다. 

 

$a:b=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}b:b$

 

$a:b=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}:1$

 

나머지 비율인 $b:c$, $c:d$ 도 같은 원리로 구힙니다.