아르키메데스 방법으로 파이 구하기 (5) 내접 다각형

 

 

지난 글에서는 외접다각형을 이용하여 파이의 범위를 구했습니다. 아르키메데스는 정6각형에서 정96각형까지 늘려가며 범위를 구했고, 정96각형에서 구한 범위는 아래와 같습니다. 

 

$\pi<3\frac{1}{7}$

 

오늘은 내접다각형을 이용하여 파이의 근사값을 구해봅시다.

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정6각형

아르키메데스는 아래와 같은 반원에서 선 AC와 BC를 그었습니다. 각 DAB가 직각의 1/3, 즉 30도가 되도록 했습니다. 

 

변 BC는 내접 정육각형의 한변입니다. 점 C에서 원 중심으로 선을 그으면 호 BC의 중심각이 60도가 되기 때문입니다. 

 

이 그림에서 AB:BC를 알면 파이의 범위를 구할 수 있습니다. 내접 정육각형의 둘레 길이는 BC의 6배이고, 원의 둘레 길이는 $\pi AB$ 이므로 아래 부등식이 성립합니다. 

 

$6BC<\pi AB$

 

따라서 파이의 범위는 아래와 같습니다. 

 

$\frac{6BC}{AB}<\pi$

 

AB:BC는 2:1 이므로 파이의 범위는 아래와 같습니다. 

 

$3<\pi$

 

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정12각형

이번에는 정 12각형으로 파이의 범위를 구해봅시다. 아래와 같이 각 CAB의 이등분선을 긋고 원과 만나는 점을 D라고 놓겠습니다. 선분 BD도 그어줍니다. 선분 AD와 선분 BC가 만나는 점은 d라고 놓겠습니다. 

 

BD는 내접 정 12각형의 한 변입니다. AB:BD 의 비율을 알 수 있다면 파이의 범위를 아래 수식을 이용하여 구할 수 있습니다. 

 

$12BD<\pi AB$

$\frac{12BD}{AB}<\pi$

 

아르키메데스는 먼저 AC:BC 의 비를 아래와 같이 놓았습니다.

 

$AC:BC<1357:780$

 

AC:BC의 비는 $\sqrt{3}:1$ 입니다. 1357을 780으로 나눈면 1.739이고, $\sqrt{3}$은 1.732입니다. 이어서 아르키메데스는 아래와 같이 삼각형의 닮음을 찾았습니다. 

 

$\angle BAD$와 $\angle dAC$ 가 같습니다. 각을 이등분했기 때문입니다. 여기까지는 당연합니다. 이어서 아르키메데스는 $\angle dAC$와 $\angle dBD$ 가 같다는 것을 이용합니다. 이 두 각이 같은 이유는 호 DC의 원주각이기 때문입니다. 따라서 아래 세 각이 같습니다 .

 

$\angle BAD=\angle dAD=\angle dBD$

 

또한 각 D와 C는 직각입니다. 따라서 삼각형 ABD, ACd, BDd 는 닮음입니다. 이 닮음을 이용하여 비례식을 세웁니다.

 

삼각형 ABD, BdD,ACd가 닮음이므로 아래 비례식이 성립합니다. 

$AD:BD=BD:Dd=AC:Cd$

또한 각의 이등분선 성질에 의해 AC:Cd는 AB:Bd와 같습니다. 

$AD:BD=BD:Dd=AC:Cd=AB:Bd$

따라서 아래 비례식이 성립합니다. 아마 중학교에서 '가비의 리'라고 배웠을 겁니다. 

$AD:BD=(AB+AC):(Bd+Cd)$

Bd+Cd는 BC 입니다.

$AD:BD=(AB+AC):BC$

따라서 아래 등식이 성립합니다.

$\frac{AD}{BD}=\frac{AB+AC}{BC}$

우변을 분리합시다.

$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{BC}+\frac{AC}{BC}$

우변은 이미 구한 비입니다. 삼각형 ABC 에서 나오는 비입니다. 

AD:BC=2:1, AB:AC<1351:780 이므로 아래와 같이 계산됩니다. 

$AD:BD<2911:780$

피타고라스 정리를 이용하면 아래 등식을 얻을 수 있습니다. 

 

$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$

 

양면을 $BD^{2}$ 으로 나눠줍니다.

 

$\frac{AB^{2}}{BD^{2}}=\frac{AD^{2}}{BD^{2}}+1$

 

AD:BD 의 범위 를 적용합시다. 

 

$\frac{AB^{2}}{BD^{2}}=\frac{AD^{2}}{BD^{2}}+1<\frac{2911^2}{780^2}+1$

 

계산하면 아래와 같습니다.

 

$\frac{AB^{2}}{BD^{2}}<\frac{9082321}{608400}$

 

아르키메데스는 분자의 제곱근을 $\sqrt{9082321}<3012\frac{3}{4}$ 로 근사했습니다. 분모의 제곱근은 780입니다.

 

$\frac{AB}{BD}<\frac{3013\frac{3}{4}}{780}$

 

위 부등식을 이용하여 파이의 범위를 구할 수 있습니다. 아르키메데스는 굳이 구하지 않고 바로 내접 24각형으로 넘어갔지만, 한번 구해봅시다. 먼저 위 부등식의 역수를 취합시다.

$\frac{BD}{AB}>\frac{780}{3013\frac{3}{4}}$

 

$\frac{12BD}{AB}<\pi$

 

위 식에 범위를 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{12\times 780}{3013\frac{3}{4}}<\pi$

 

$3.105<\pi$

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정24각형

이번에는 정 24각형으로 파이의 범위를 구해봅시다. 아래와 같이 각 CAD의 이등분선을 긋고 원과 만나는 점을 E라고 놓겠습니다. 선분 BE도 그어줍니다. 선분 AE와 선분 BC가 만나는 점은 e라고 놓겠습니다.

 

BE는 내접 정 24각형의 한 변입니다. AB:BE 의 비율을 알 수 있다면 파이의 범위를 아래 수식을 이용하여 구할 수 있습니다.

 

$24BE<\pi AB$

$\frac{24BE}{AB}<\pi$

 

AD:BD 의 비는 12각형에서 구해놓았습니다. 

 

$AD:BD<2911:780$

 

아르키메데스는 아래와 같이 삼각형의 닮음을 찾았습니다.

 

$\angle BAE$와 $\angle eAD$ 가 같습니다. 각을 이등분했기 때문입니다. 여기까지는 당연합니다. 이어서 아르키메데스는 $\angle eAD$와 $\angle eBE$ 가 같다는 것을 이용합니다. 이 두 각이 같은 이유는 호 DE의 원주각이기 때문입니다. 따라서 아래 세 각이 같습니다 .

 

$\angle BAE=\angle eAe=\angle eBe$

 

또한 각 D와 E는 직각입니다. 따라서 삼각형 ABE, ADe, BEe 는 닮음입니다. 이 닮음을 이용하여 비례식을 세웁니다.

 

삼각형 ABE, BeE,ADe가 닮음이므로 아래 비례식이 성립합니다. 

$AE:BE=BE:Ee=AD:De$

또한 각의 이등분선 성질에 의해 AD:De는 AB:Be와 같습니다. 

$AE:BE=BE:Ee=AD:De=AB:Be$

따라서 아래 비례식이 성립합니다. 아마 중학교에서 '가비의 리'라고 배웠을 겁니다. 

$AE:BE=(AB+AD):(Be+De)$

Be+De는 BD 입니다.

$AE:BE=(AB+AD):BD$

따라서 아래 등식이 성립합니다.

$\frac{AE}{BE}=\frac{AB+AD}{BD}$

우변을 분리합시다.

$\frac{AE}{BE}=\frac{AB}{BD}+\frac{AD}{BD}$

우변은 이미 구한 비입니다. 삼각형 ABD 에서 나오는 비입니다. 

$AB:BD<3013\frac{3}{4}:780$, $AD:BD<2911:780$ 이므로 아래와 같이 계산됩니다. 

$AE:BE<5924\frac{3}{4}:780$

 

$AE:BE<1823:240$

피타고라스 정리를 이용하면 아래 등식을 얻을 수 있습니다. 

 

$AB^{2}=AE^{2}+BE^{2}$

 

양면을 $BE^{2}$ 으로 나눠줍니다.

 

$\frac{AB^{2}}{BE^{2}}=\frac{AE^{2}}{BE^{2}}+1$

 

AE:BE 의 범위 를 적용합시다. 

 

$\frac{AB^{2}}{BE^{2}}=\frac{AE^{2}}{BE^{2}}+1<\frac{1823^2}{240^2}+1$

 

계산하면 아래와 같습니다.

 

$\frac{AB^{2}}{BE^{2}}<\frac{3380929}{57600}$

 

아르키메데스는 분자의 제곱근을 $\sqrt{3380929}<1838\frac{9}{11}$ 로 근사했습니다. 분모의 제곱근은 240입니다.

 

$\frac{AB}{BE}<\frac{1838\frac{9}{11}}{240}$

 

위 부등식을 이용하여 파이의 범위를 구할 수 있습니다. 아르키메데스는 굳이 구하지 않고 바로 내접 48각형으로 넘어갔지만, 한번 구해봅시다. 먼저 위 부등식의 역수를 취합시다.

$\frac{BE}{AB}>\frac{240}{1838\frac{9}{11}}$

 

$\frac{24BE}{AB}<\pi$

 

위 식에 범위를 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{24\times 240}{1838\frac{9}{11}}<\pi$

 

$3.132<\pi$

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정48각형, 정96각형

정48과 96각형도 같은 방법으로 둘레길이를 구하면 됩니다. 아르키메데스는 정96각형까지 구했구요. 정96각형으로 구한 범위는 아래와 같습니다. 

$3\frac{10}{71}<\pi$

지난 글에서 구한 범위와 함께 쓰면 아래와 같습니다. 

$3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}$

계산하면 아래와 같습니다. 

$3.1408<\pi<3.1428$