초평면 (Hyperplane)

초평면이란?

초평면에 '초'는 뛰어넘다(초) 입니다. 평면을 뛰어넘은 평면이라는 뜻인데요. 평면에서 더 확장된 개념이라는걸 이름에서도 알 수 있습니다. 

 

두개의 변수로 만들어진 1차식은 아래와 같습니다.

$ax+by+c=0$

위 식은 직선의 방정식입니다. 2차원 평면에 그려집니다. 

변수를 하나 추가해봅시다. 

$ax+by+cz+d=0$

위 식은 평면의 방정식입니다. 3차원 공간에 그려집니다. 

변수를 하나 더 추가해봅시다.

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+a_{4}x_{4}+c=0$

위 식은 뭘까요. 4차원 공간에 그려집니다. 뭐라고 불러야 할까요. 수학자들은 '평면'을 일반화하여 '초평면'이라고 부르기로 했습니다. 일차식으로 만들어지는 도형을 전부 초평면으로 부르기로 한 것입니다. 각 초평면은 그려진 차원을 이용하여 OO차원의 초평면 이라고 부릅니다. 

 

직선은 2차원의 초평면이고, 평면은 3차원의 그려진 초평면입니다. 아래 도형은 n차원의 초평면입니다. 

 

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}+c=0$

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초평면의 성질

2차원에 그려진 초평면은 직선입니다. 직선은 1차원 공간입니다. 수직선이 1차원인 것을 다들 아실겁니다. 3차원에 그려진 초평면은 평면입니다. 평면은 2차원 공간입니다. 좌표평면이 2차원인 것을 다들 아실겁니다. 정리해보면 아래와 같습니다 .

2차원에 그려진 초평면 = 직선 = 1차원 공간
3차원에 그려진 초평면 = 평면 = 2차원 공간

따라서 n차원에 그려진 초평면은, n-1차원 공간과 같습니다. 

n차원에 그려진 초평면 = ?? = n-1차원 공간

 

쉽게 설명하면, 초평면은 그것이 그려진 공간의 차원보다 한차원 낮은 공간입니다. 방금한 설명이 초평면의 정의이기도 합니다. 

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어디에 쓰나?

초평면은 공간을 분할하는 역할을 합니다. 2차원평면을 떠올려봅시다. 2차원 평면의 초평면은 직선입니다. 직선은 평면을 분할합니다. 3차원 공간을 떠올려 봅시다. 3차원 공간의 초평면은 평면입니다. 평면은 공간을 분할합니다. 차원이 높아지면 상상할 수는 없지만, 같은 원리가 성립한다는 것은 이해할 수 있습니다. n차원의 초평면은 n차원 공간을 분할할 것입니다.

이 원리는 머신러닝에서 사용됩니다. 데이터가 이쪽에 속할지 저쪽에 속할지를 분류하는 모델을 만들 때 사용됩니다.