[수학 상] (1-9) 다항식의 곱셈공식 22가지

[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (9) 다항식의 곱셈공식

다항식의 곱셈공식은 다항식의 곱셈에서 자주 등장하는 형태를 공식으로 만들어 놓은 것입니다. 

 

다항식의 곱셈공식은 '구구단'과 같은 것입니다. 알아두면 계산시간을 상당히 단축 시킬 수 있죠. 처음에는 외운다는게 부담이 될 수도 있는데, 문제를 많이 풀다보면 자연스럽게 익숙해집니다. 구구단처럼요. 

 

1. 곱셈공식의 기본형

아래는 가장 기본이 되는 곱셈공식입니다. 눈으로도 전개가 가능한 공식들이죠. 아래 공식 정도는 손으로 쓰지 말고 머리 속으로 전개하는 연습을 해보세요. 

 

1) $\left ( a+b \right )^2=a^2+2ab+b^2$

2) $\left ( a-b \right )^2=a^2-2ab+b^2$

3) $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

4) $(x+b)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

5) $(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

 

아래는 항이 3개 이상이거나, 3차식이 등장하는 공식들입니다. 6번 말고는 눈으로 전개하기 어렵습니다. 특히 12번 같은 경우는 외워도 자꾸 까먹더라구요. 한번은 직접 전개해봐야겠지만, 암기가 필요한 공식들입니다. 

 

6) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

7) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

8) $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

9) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

10) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

11) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$

12) $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2 b^2+b^4$

 

2. 기본형 곱셈공식의 변형

기본 공식들을 변형했습니다. 먼저 위 공식을 알면 자연스럽게 받아들여지는 변형공식을 적어볼게요. 기본공식을 '이항'한 수준의 공식들입니다. 

 

1) a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

2) a^2+b^2=(a-b)^2+2ab 

3) $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

4) $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$

 

아래 공식들은 기본공식에 있는 a와 b를 x와 1/x로 치환한 공식입니다. x와 1/x 는 곱하면 1이 되기 때문에 재밌는 공식들이 만들어집니다. 7번공식은 1,2번공식을 빼서 만든 공식입니다. 8번 공식은 7번공식에 y 대신 1/x를 넣은 것이구요. 

 

5) $x^2+\frac{1}{x^2}=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2-2$

6) $x^3+\frac{1}{x^3}=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-3\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

7) $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$

8) $\left ( x-\frac{1}{x} \right )^2=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2-4$

 

마지막 두개의 공식이 남아있는데요. 어려워 보이는데 막상 유도해보면 간단합니다. 

 

9) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left \{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right \}$

10)$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\frac{1}{2}\left \{ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \right \}$

 

10번은 9번과 부호만 다릅니다. 9번 식만 유도해보겠습니다. 아래 다항식에서 출발합니다. 9번식의 좌변입니다. 

 

a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca

 

위 식에 2를 나누고 곱해줍니다. 

 

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca)$

 

우변을 아래와 같이 변형합니다. 

 

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ca+a^2)$

 

우변을 완전제곱식들로 바꿔주면 9번식이 유도됩니다. 

 

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left \{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right \}$

 

지금까지 22개의 곱셈공식을 배워보았습니다. 문제 많이 푸시고 구구단처럼 익숙해져 봅시다.