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부분집합의 개수
부분집합의 개수를 구해봅시다. 원소의 개수가 많지 않은 집합에서 먼저 구해보고 일반화시키도록 합시다. 아래와 같은 집합이 하나 있습니다.
집합 A의 부분집합을 구해봅시다.
몇개죠? 8개입니다. 원소의 개수가 많지 않아서 셀 수 있었지만 원소 개수가 10개면 어떨까요. 어느 세월에 세고 있을까요. 일반화시켜야 할 필요를 느낍니다. 원소의 개수가 n일 때 부분집합의 개수를 유도해봅시다. 나중에 조합을 배우면 쉽게 유도할 수 있는데, 지금은 조합을 모르는 상황입니다. 불편하지만 수형도를 이용해서 유도하겠습니다. 수형도가 뭐야? 라는 의문이 드는 분들도 어려운 개념이 아니니 보면 알게되실겁니다.
위에서 정의했던 집합 A의 부분집합을 수형도로 구해보겠습니다.
오른쪽으로 갈 수록 개수가 두배가 되는게 보이시죠?? 만약 4라는 원소가 하나 더있었다면 또 두배가 됐을 겁니다. 따라서 이렇게 일반화 시킬 수 있습니다 .
원소의 개수가 n인 집합의 부분집합의 개수 :
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