미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 4편

좀 멋진? 신기한?

증명 방법

 

미분해서 자기 자신이 나오는 함수가 $y=e^x$ 밖에 없다는 것을 재밌는 방법으로 증명해보겠습니다. 

미분해서 자기자신이 나오는 함수를 $f(x)$ 라고 한다면 $f(x)=f'(x)$ 가 성립합니다. 

$f(x)$를 $e^x$로 나눠줍니다. 

$\frac{f(x)}{e^x}$

위 식을 x로 미분합니다. 

$\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{f'(x)e^x-e^x f(x)}{\left ( e^x \right )^2}$

분자를 $e^x$로 묶어줍니다. 

$\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{e^x\left ( f'(x)- f(x) \right )}{\left ( e^x \right )^2}$

f'(x)-f(x)=0 이므로 아래와 같이 계산됩니다. 

$\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=0$

미분해서 0이 되는 함수는 상수함수이므로, 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

$\frac{f(x)}{e^x}=C$

따라서 $f(x)$는 아래와 같습니다. 

$f(x)=Ce^x$

 

 

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