e^x 는 어디에 쓰일까? (뉴튼의 냉각법칙)

따듯한 물체를 차가운 곳에 놓으면 물체의 온도가 점점 낮아집니다. 물체가 열을 잃는 것인데요. 

어떤 물체가 열을 잃는 속도는 물체와 주변환경의 온도 차이에 비례합니다. 이러한 사실을 뉴턴의 냉각법칙이라고 부릅니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

$\frac{dT}{dt}=r\left ( T(t)-T_{env} \right )$

$T(t)$는 물체의 온도, $T_{env}$는 주변 온도, r은 열전달 계수입니다. 주변온도는 특정 값으로 일정하다고 가정합니다. 

위 식을 아래와 같이 변형합니다. 

$T'(t)=r\left (T(t)- T_{env} \right )$

아래와 같이 변형합니다. 

$\frac{T'(t)}{\left ( T(t)-T_{env} \right )}=r$

양변을 t에 대해 적분합니다. 

$\int \frac{T'(t)}{\left ( T(t)-T_{env} \right )} dt = \int  rdt$

적분을 계산합니다. 

$\ln \left | T(t)-T_{env} \right | = rt+c$

로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 

$T-T_{env}=e^{rt+c}$

아래와 같이 우변을 둘로 나눠줍니다. 

$T-T_{env}=e^{rt}e^c$

$e^c$를 어떤 상수 A로 바꿔줍니다. 

$T-T_{env}=Ae^{rt}$

$T_{env}$를 이항합니다. 

$T=Ae^{rt}+T_{env}$

물체의 온도가 지수함수적으로 변한는 것을 알 수 있습니다.