[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (37) 삼차방정식의 켤레근

삼차방정식의 켤레근

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아래와 같은 삼차방정식이 있다고 해봅시다.

두가지 경우로 나눠서 설명하겠습니다. 

1. 모든 계수가 유리수인 경우

q는 0이 아닌 유리수이고, 삼차방정식이 이라는 근을 갖는다면, 반드시 켤레근 을 갖습니다. 왜그런지 증명해봅시다. 

모든 계수가 유리수인 삼차방정식 중 를 근으로 갖는 경우를  살펴봅시다. 

1) 세 근이 모두 형태 

계수에 무리수가 생기므로 해당사항 없음

2) 두 근이 형태이고 한 근이 유리수 

유리수인 근을 α라고 한다면, 아래와 같이 인수분해됩니다.

두 근은 이차식에서 구해진 근이므로, 서로 켤레근관계여야 합니다. 따라서 를 갖는다면 켤레근 를 갖습니다. 

3) 한 근이 형태이고 두 근이 유리수

두 유리수 근을 α, β라고 한다면 아래와 같이 인수분해됩니다. 

전개하면 계수에 무리수가 생기죠? 따라서 해당사항 없습니다.

결과적으로 모든 계수가 유리수라면 2)번의 경우만 발생할 수 있습니다. 이 경우에 켤레근을 가지므로 아래 명제가 참이됩니다. 

삼차방정식이 이라는 근을 갖는다면, 반드시 켤레근 을 갖는다. 

2. 모든 계수가 실수인 경우

모든 계수가 실수인 경우에는 삼차방정식이이라는 근을 갖더라도 반드시 켤레근 을 갖지는 않습니다. 계수가 무리수여도 상관 없기 때문입니다. 

하지만 p는 0이아닌 실수이고 삼차방정식이 라는 근을 갖는다면, 반드시 켤레근를 갖습니다. 왜그런지 증명해봅시다. 

모든 계수가 실수인 삼차방정식 중 를 근으로 갖는 경우를  살펴봅시다. 

1) 세 근이 모두 형태 

계수에 무리수가 생기므로 해당사항 없음

2) 두 근이 형태이고 한 근이 실수 

실수인 근을 α라고 한다면, 아래와 같이 인수분해됩니다.

두 근은 이차식에서 구해진 근이므로, 서로 켤레근관계여야 합니다. 따라서 를 갖는다면 켤레근 를 갖습니다. 

3) 한 근이 형태이고 두 근이 유리수

두 유리수 근을 α, β라고 한다면 아래와 같이 인수분해됩니다. 

전개하면 계수에 허수가 생기죠? 따라서 해당사항 없습니다.

결과적으로 모든 계수가 실수라면 2)번의 경우만 발생할 수 있습니다. 이 경우에 켤레근을 가지므로 아래 명제가 참이됩니다. 

삼차방정식이 이라는 근을 갖는다면, 반드시 켤레근 을 갖는다. 

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