[5분 고등수학] 조합 관련 공식의 직관적 이해

 

 

조합과 관련된 두 가지 공식을 유도하고, 이해해볼겁니다. 

 

첫번째 공식은 아래와 같습니다. 

$_n{C}_r=_n{C}_{n-r}$

먼저 수학적으로 증명해봅시다. 팩토리얼 식으로 양변을 전개하면 아래와 같습니다. 

$\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

양변이 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 

이번에는 간단한 예제를 이용해서 직관적으로 이해해봅시다. 농구선수 8명이 있는데요. 이 중에서 선발로 뛸 5명을 뽑아야 하는 상황입니다. 가장 먼저 떠오르는 생각은 8명중 5명을 조합으로 뽑는 것입니다.

$_8{C}_5$

이 상황을 다른 관점으로 생각해봅시다. 8명 중에 5명을 뽑는다고 생각하는게 아니라, 3명을 남긴다고 생각하는 겁니다. 벤치에 남겨둘 3명을 뽑는 것이죠. 

$_8{C}_3$

두 상황이 동일한 상황입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$_8{C}_5=_8{C}_3$

위와 같이 첫번 째 공식을 직관적으로도 이해할 수 있습니다. 

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이번에는 두번째 공식입니다.

 

$_n{C}_r=_{n-1}{C}_r+_{n-1}{C}_{r-1}$

먼저 수학적으로 유도하겠습니다. 팩토리얼로 전개할게요. 

$\frac{n!}{\left(n-r\right)!r1}=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-1-r\right)!r!}+\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-r\right)!\left(r-1\right)!}$

 

우변의 첫번째 항의 분자와 분모에 (n-r)을 곱합시다. 

 

$\frac{n!}{\left(n-r\right)!r1}=\frac{\textcolor{#ff0010}{\left(n-r\right)}\left(n-1\right)!}{\textcolor{#ff0010}{\left(n-r\right)}\left(n-1-r\right)}!r!+\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-r\right)!\left(r-1\right)!}$

 

아래와 같이 변형됩니다.

 

$\frac{n!}{\left(n-r\right)!r1}=\frac{\left(n-r\right)\left(n-1\right)!}{\textcolor{#ff0010}{\left(n-r\right)!}r!}+\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-r\right)!\left(r-1\right)!}$

 

우변의 첫번째항의 분자를 전개합시다.

$\frac{n!}{\left(n-r\right)!r1}=\frac{n\left(n-1\right)!-r\left(n-1\right)!}{\textcolor{#000000}{\left(n-r\right)!r!}}+\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-r\right)!\left(r-1\right)!}$

 

n(n-1)!은 n!이구요. 이번에는 우변의 두번째항 분자와 분모에 r을 곱합시다. 

$\frac{n!}{\left(n-r\right)!r1}=\frac{n!-r\left(n-1\right)!}{\textcolor{#000000}{\left(n-r\right)!}r!}+\frac{r\left(n-1\right)!}{\left(n-r\right)!\textcolor{#ff0010}{r\left(r-1\right)!}}$

 

아래와 같이 변형됩니다. 

$\frac{n!}{\left(n-r\right)!r1}=\frac{n!-r\left(n-1\right)!}{\textcolor{#000000}{\left(n-r\right)!}r!}+\frac{r\left(n-1\right)!}{\left(n-r\right)!\textcolor{#ff0010}{r!}}$

 

우변을 계산해줍시다. 

 

$\frac{n!}{\left(n-r\right)!r1}=\frac{n!}{\textcolor{#000000}{\left(n-r\right)!}r!}$

 

등식이 증명되었습니다. 

 

이번에는 직관적으로 이해해봅시다. 

 

A,B,C,D,E 라는 다섯명의 선수가 있습니다. 이들 중 세명의 선수를 뽑으려는 상황입니다. 경우의 수는 아래와 같습니다.

 

$_5{C}_3$

 

위 공식을 적용하면 아래와 같습니다. 

 

$_5{C}_3=_4{C}_3+_4{C}_2$

우변의 $_4{C}_3$ 은 다섯명의 선수 중 한명의 선수를 빼놓고, 나머지 선수 중에서 3명의 선수를 뽑는 경우입니다. 다섯명 중에서 E를 빼놨다고 해봅시다. 그렇다면 $_4{C}_3$은 E를 빼고 3명을 뽑는 경우의 수 입니다. 여기에 E를 항상 포함하고 3명을 뽑는 경우의 수를 더해주면, 전체 경우와 같아질 겁니다. E를 항상 포함하고 3명을 뽑는 경우의 수는 E를 뺸 4명 중 2명을 뽑은 뒤에, 각 경우에 E를 넣어버리면 됩니다. 따라서 $_4{C}_2$가 됩니다.