[5분 고등수학] 이항정리 이해하기

 

 

이항정리는 아래식을 전개하여 각 항의 계수를 조합의 형태로 나타낸 것입니다. 

${\left({a+b}\right)}^n$

결론부터 말씀드리면, 위 식을 전개하면 아래와 같습니다. 

${\left({a+b}\right)}^n=\sum _{r=0}^n{_nC}_r\cdot {a}^{n-r}\cdot {b}^r$

간단한 예시를 통해서 이해한 뒤, 개념을 확장하도록 하겠습니다. 

a+b의 세제곱은 a+b를 세번 곱한것입니다. 

${\left({a+b}\right)}^3=\left({a+b}\right)\left({a+b}\right)\left({a+b}\right)$

전개하면 아래와 같습니다. 

${\left({a+b}\right)}^3=\left({a+b}\right)\left({a+b}\right)\left({a+b}\right)={a}^3+3{a}^2b+3a{b}^2+{b}^3$

이 전개식을 '조합'으로 이해해봅시다. 첫번째 항인 a세제곱은, (a+b)라는 각 인수에서 a를 뽑아서 곱한 것으로 이해할 수 있습니다. 

$\left({\textcolor{#ff0010}{a}+b}\right)\left({\textcolor{#ff0010}{a}+b}\right)\left({\textcolor{#ff0010}{a}+b}\right)=\textcolor{#ff0010}{{a}^3}+3{a}^2b+3a{b}^2+{b}^3$

우변의 두번째 항은  a 두개와 b 하나를 뽑아서 곱한 것으로 이해할 수 있습니다. 

$\left({\textcolor{#00b3f2}{a}+b}\right)\left({\textcolor{#00b3f2}{a}+b}\right)\left({\textcolor{#000000}{a}+\textcolor{#00b3f2}{b}}\right)=\textcolor{#000000}{{a}^3}+3\textcolor{#00b3f2}{{a}^2b}+3a{b}^2+{b}^3$

그런데 위와 같이 뽑는 방법은 세가지가 있습니다.

​a a b
a b a 
b b a

​이 세가지가 3이라는 계수가 된 것입니다. 조합으로 생각해보면 (a+b)(a+b)(a+b) 세개의 인수에서 a가 곱해질 두개의 인수를 뽑는 경우의 수와 같습니다. 이 원리를 적용하면 아래와 같이 조합 형태로 표현이 가능합니다. 

$\textcolor{#000000}{{\left({a+b}\right)}^3=\left({a+b}\right)\left({a+b}\right)\left({a+b}\right)=_3{\ C}_3{a}^3+_3{\ C}_2{a}^2b+_3{\ C}_1a{b}^2+_3{\ C}_0{b}^3}$

숫자가 더 큰 예제를 풀어봅시다. 

${\left({a+b}\right)}^7$

앞의 원리로 증명해봅시다. 먼저 모든 인수에서 a가 뽑히는 경우가 있을 것입니다. 7개의 인수에서 a가 곱해질 7개의 인수를 고르는 것이므로 아래와 같이 표현됩니다. 

${\left({a+b}\right)}^7=_7{C}_7{a}^7$

다음은 a가 6개 곱해지고, b가 1개 곱해지는 경우도 있을 것입니다. 

${\left({a+b}\right)}^7=_7{C}_7{a}^7+_7{C}_6{a}^6b$

그 다음은 a가 5개 곱해지고, b가 2개 곱해지는 경우도 있을 것입니다. 

${\left({a+b}\right)}^7=_7{C}_7{a}^7+_7{C}_6{a}^6b+_7{C}_5{a}^5{b}^2$

이렇게 계속 이어집니다. 이번에는 n제곱으로 일반화시켜봅시다. 

${\left({a+b}\right)}^n=_n{C}_n{a}^n+_n{C}_{n-1}{a}^{n-1}b+_n{C}_{n-2}{a}^{n-2}{b}^2+...++_n{C}_0{b}^n$

위와 같은 전개방식은 a를 중심으로 전개한 것입니다. b를 중심으로도 전개가 가능합니다. 

${\left({a+b}\right)}^n=_n{C}_n{b}^n+_n{C}_{n-1}b^{n-1}a+_n{C}_{n-2}{b}^{n-2}{a}^2+...++_n{C}_0{a}^n$

두 식이 동일하구요. 관점의 차이입니다. a를 뽑는다고 생각할지, b를 뽑는다고 생각할지의 차이입니다. 

이번에는 시그마기호를 이용해서 표현해봅시다. b를 중심으로 전개한 식에 적용하겠습니다. 

${\left({a+b}\right)}^n=\sum _{r=0}^n{_nC}_r\cdot {a}^{n-r}\cdot {b}^r$

결과만 외우시면 안되구요. 스스로 이항정리를 표현할 수 있어야 합니다.