[5분 고등수학] 같은 것이 있는 순열

 

 

아래 보이시는 그림은 서점의 진열대입니다. 표시한 칸에 인형을 진열해야 하는 상황을 생각해봅시다. 

 

 

우리가 가지고 있는 인형은 코끼리 인형 1개, 사슴 인형2개, 원숭이 인형이 1개가 있습니다 .이 네개의 인형을 진열대에 진열하는 방법은 몇가지 일까요?

 

사슴인형 2개는 같은 인형인데요. 일단 다른 인형이라고 생각하고 사슴1, 사슴2라고 놓겠습니다. 

 

네개의 인형을 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!입니다. 이 중 한가지 경우를 살펴봅시다. 

 

코끼리, 원숭이1, 사슴1, 사슴2

 

그런데 이 4! 안에는 아래와 같은 경우도 포함되어 있습니다. 

 

코끼리, 원숭이1, 사슴2, 사슴1

 

두 경우는 같은 경우입니다. 따라서 4!이라는 수는, 실제 경우의 수보다 2배 많이 계산된 결과입니다. 따라서 4!을 2로 나눠주어야 합니다. 

 

$\frac{4!}{2}$

 

이번에는 조금 더 복잡한 경우를 예로들어봅시다.

 

코끼리, 사슴, 사슴, 사슴, 원숭이

 

사슴 인형이 3개입니다. 일단 사슴인형을 아래와 같이 1,2,3으로 부분하겠습니다. 

 

코끼리, 사슴1, 사슴2, 사슴3, 원숭이

 

그리고 일렬로 나열해봅시다. 일렬로 나열하는 경우의 수는 5! 입니다. 

 

5! 에는 아래와 같은 경우들이 포함됩니다.  

 

코끼리, 사슴1, 사슴2, 사슴3, 원숭이
코끼리, 사슴1, 사슴3, 사슴2, 원숭이
코끼리, 사슴2, 사슴1, 사슴3, 원숭이
코끼리, 사슴2, 사슴3, 사슴1, 원숭이
코끼리, 사슴3, 사슴1, 사슴2, 원숭이
코끼리, 사슴3, 사슴2, 사슴1, 원숭이

 

위 여섯가지 경우는 모두 같은 경우입니다. 따라서 5!이라는 것은, 사슴 1,2,3을 나열하는 경우의 수인 6배만큼 많이 계산된 것입니다. 따라서 아래와 같이 3!으로 나눠저어야 합니다. 

 

$\frac{5!}{3!}$

 

이번에는 코끼리 인형도 두개로 늘려봅시다.

 

코끼리,코끼리, 사슴, 사슴, 원숭이

 

원리는 동일합니다. 5!을 무엇으로 나누면 될까요? 코끼리가 자리바뀌는 2!, 사슴이 자리바뀌는 2!으로 나눠주면 됩니다. 

 

$\frac{5!}{2!2!}$

 

마지막 예제로 가봅시다. 마지막 예제는 같은 것이 있는 순열이 아닌 듯 보이지만 같은 것이 있는 순열을 사용해서 푸는 예제입니다. 알파벳이 A부터 G까지 일렬로 나열되어 있습니다. 

 

 

이 알파벳을 섞어서 새로운 문자를 만들겁니다. 총 7! 개의 서로 다른 문자를 만들 수 있습니다. 그런데 한가지 조건을 추가해주고 싶습니다. A와 B는 순서가 유지되게 하고 싶은 것입니다. 붙어있지는 않아도 되지만 순서는 유지하고 싶습니다. A가 B보다 항상 앞쪽에 오도록 말이죠. 

 

이럴 때 같은 것이 있는 순열을 사용합니다. A와 B를 둘다 O라고 놓겠습니다. 그럼 우리가 가진 문자는 아래와 같습니다. 

 

OOCEDFG

 

같은 것이 있는 순열로 배열하면, 7!/2! 이 됩니다. 이제 나열한 순열에 있는 앞의 동그라미에는 A를, 뒤에 동그라미에는 B를 넣어주면 됩니다. 따라서 답은 그대로 7!/2! 입니다.