[5분 고등수학] 순열 쉽게 이해하기

 

 

여섯사람이 우주선을 타고 우주를 항해하고 있었습니다. 그러던 어느 날 갑자기 우주선에 불이 난 겁니다. 우주선에서 탈출해야하는 상황이 되었습니다. 우주선에는 만일의 사태를 대비해서 우주선을 탈출할 수 있는 탈출선이 하나 있었어요. 그런데 설계자가 실수로 세사람만 타고 나갈 수 있도록 설계를 한 겁니다. 여섯명중 세사람은 탈출할 수 있고, 세 사람은 우주선에 남아서 죽어야 하는 슬픈 상황입니다. 

여섯사람은 모여서 회의를 했습니다. 어떻게 하면 공정하게 탈출할 사람을 정할 수 있을까 회의한 결과 제비뽑기를 하기로 했습니다. 제비뽑기 방식은 이렇습니다. 

종이에 사람의 이름을 적습니다. 사람 이름은 A,B,C,D,E,F 라고 하겠습니다. 종이에 세 사람의 이름을 적는데, 모든 경우의 수 만큼의 종이를 준비하고 이름을 적는겁니다. 

종이1 - A,B,C
종이2 - A,B,D
...

이렇게요. 

그리고 모든 종이를 접어서 상자에 넣고, 섞습니다. 한 사람이 종이를 뽑고, 처음 나온 종이에 적힌 사람 세명이 탈출선을 타기로 했습니다.

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이때, 필요한 쪽지의 개수를 구해봅시다.

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탈출선의 첫번째 자리를 1번, 두번째 자리를 2번, 세번째 자리를 3번이라고 해봅시다.

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첫번째 자리에 A가 타면, 두번째 자리에 탈 수 있는 사람은 B,C,D,E,F 입니다.

 

 

두번째 자리에 B가 타면, 세번째 자리에 탈 수 있는 사람은 C,D,E,F입니다.

 

 

두번째 자리에 다른 사람이 타도, 세번째 자리에 탈 수 있는 사람의 경우의 수는 네가지입니다. 두번째 자리에 올 수 있는 다섯가지 경우가 각각 네가지 경우로 나눠지니까 총 20가지 경우가 됩니다.

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4(두번째 자리에 사람이 타는 경우의 수) X 5(세번째 자리에 사람이 타는 경우의 수) = 20

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첫번째 자리에 A가 왔을 때 만들어지는 쪽지 개수가 20가지입니다. 그런데 첫번째 자리에는 A뿐만 아니라 B,C,D,E도 올 수 있습니다. 첫번째 자리에 사람이 타는 경우의 수는 6가지 입니다. 따라서 20에 6을 더 곱해주어야 전체 쪽지 수가 구해집니다.

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6(첫번째 자리에 타는 사람의 경우의 수) X5(두번째 자리) X 4(세번째 자리) = 120

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이렇게 쪽지를 120개 만들어야 합니다. 우리가 지금 구한 쪽지의 개수가 '순열'입니다. 어떤 순열을 계산한 것인지 자세히 말씀드릴게요.

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'6명의 사람 중에서 세명을 뽑아서 일렬로 배열' 하는 순열을 계산한 것입니다. 기호로는 아래와 같이 표현합니다.

 

$_{6}P_{3}$

 

p는 '순열'이라는 뜻의 permutation 의 첫글자입니다. p 의 왼쪽에는 전체 사람 수, p의 오른쪽에는 뽑아서 일렬로 나열할 사람의 수를 써줍니다.

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몇가지 예를 들어봅시다.

 

$_{5}P_{2}$

 

위 수식은 우주선에 탑승한 사람이 5명이고, 자리가 2자리인 상황에서 계산한 종이의 수 입니다. 아래와 같이 계싼됩니다. 첫번째 자리에 사람이 타는 경우의 수는 5이고, 첫번째 자리에 누군가 탔을 때 두번째 자리에 사람이 타는 경우의 수는 4입니다. 따라서 아래와 같이 계산됩니다.

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5x4=20

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아래 예시를 봅시다.

 

$_{10}P_{4}$

 

위 수식은 우주선에 탑승한 사람이 10명이고, 자리가 4자리인 상황에서 계산한 종이의 수 입니다. 첫번째 자리에 10명이 타고, 두번째 자리에는 9명, 세번째는 8명, 다섯번째는 7명입니다. 따라서 아래와 같이 계산됩니다.

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10x9x8x7

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이번에는 일반화라는 것을 해봅시다. 아래와 같이 숫자 대신 문자를 넣어 계산하는 것입니다.

 

$_{n}P_{r}$

 

먼저 기호를 설명하면, n명 중에서 r명을 뽑아서 일렬로 나열하는 경우의 수입니다. 사람이 아니라 물건이라면, n개 중에서 r개를 뽑아서 일렬로 나열하는 수 입니다.

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일반화를 위해서 위에서 계산한 예시들을 다시 뜯어봅시다.

 

$_{5}P_{2}$

 

위 수식은 아래와 같이 계산되는 것을 알 수 있습니다.

 

$_{5}P_{2}=5 \times 4 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}$

 

다른 예시를 봅시다.

 

$_{10}P_{4}$

 

위 수식은 아래와 같이 계산되는 것을 알 수 있습니다.

 

$_{10}P_{4}=10 \times 9 \times 8 \times 7= \frac{10 \times 9 \times\cdots \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times \cdots \times 2 \times 1}$

 

1부터 n까지 곱한 수를 n!이라는 기호로 놓아봅시다. 위 예시들을 이 기호를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다.

 

$_{5}P_{2}=5 \times 4 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}=\frac{5!}{3!}$

 

$_{10}P_{4}=10 \times 9 \times 8 \times 7= \frac{10 \times 9 \times\cdots \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times \cdots \times 2 \times 1}=\frac{10!}{6!}$

 

이 규칙을 $_{n}P_{r}$ 에 적용하면 아래와 같습니다.

 

$_{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$

 

위 공식이 n개 중에서 r개를 뽑아 나열했다는 의미인 '순열'입니다.