[5분 고등수학] 삼각함수들 사이의 관계 (sin,cos,tan,sec,csc,cot)

 

 

우리가 배운 삼각함수들은 아래와 같습니다. 

$\sin \theta$
$\cos \theta$
$\tan \theta$
$\sec \theta$
$\csc \theta$
$\cot \theta$

이들을 서로 연결하는 관계식들이 유도되어 있습니다. 아래와 같은 관계식들입니다. 

1) $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

2) $\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta=1$

3) $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$

4) $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$

각 관계를 직접 유도해봅시다. 삼각함수의 정의를 이용하면 쉽게 유도할 수 있습니다. 삼각함수는 아래와 같은 원에서 정의됩니다. 

 

$\sin \theta=\frac{y}{r}$

 

$\cos \theta=\frac{x}{r}$

 

$\tan \theta=\frac{y}{x}$

 

위 정의를 이용하여 1번부터 유도해봅시다.

 

1) $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

아래 수식에서 출발합시다. 

 

$\tan\theta=\frac{y}{x}$

 

우변의 분자와 분모를 r로 나눠줍니다. 

 

$\tan\theta=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}$

 

우변의 분자는 $\sin\theta$이고, 분모는 $\cos\theta$입니다. 따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

 

 

2) $\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta=1$

사인과 코사인의 정의를 이용하여 좌변을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta=\frac{y^{2}}{r^{2}}+\frac{x^{2}}{r^{2}}$

 

통분해줍니다. 

 

$\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta=\frac{y^{2}+x^{2}}{r^{2}}$

 

원의 방정식에서 분자는 $r^{2}$과 같습니다. 

 

$\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta=\frac{r^{2}}{r^{2}}$

 

따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

 

$\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta=1$

 

 

3) $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$

좌변에 삼각함수의 정의를 적용합시다. 

 

$1+\tan^{2}\theta=1+\frac{y^{2}}{x^{2}}$

 

우변을 통분해줍니다. 

 

$1+\tan^{2}\theta=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}$

 

원의 방정식에서, 우변의 분자는 $r^{2}$입니다. 

 

$1+\tan^{2}\theta=\frac{r^{2}}{x^{2}}$

 

우변을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\left( \frac{x}{r} \right)^{2}}$

 

$\frac{x}{r}$ 은 $\cos\theta$입니다. 

 

$1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\left(\cos\theta \right)^{2}}$

 

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$

 

 

4) $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$

좌변에 삼각함수의 정의를 적용합시다.

 

$1+\cot^{2}\theta=1+\frac{x^{2}}{y^{2}}$

 

우변을 통분해줍니다. 

 

$1+\cot^{2}\theta=\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}$

 

원의 방정식에서, 우변의 분자는 $r^{2}$입니다. 

 

$1+\cot^{2}\theta=\frac{r^{2}}{y^{2}}$

 

우변을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$1+\cot^{2}\theta=\frac{1}{\left( \frac{y}{r} \right)^{2}}$

 

$\frac{y}{r}$ 은 $\sin\theta$입니다. 

 

$1+\cot^{2}\theta=\frac{1}{\left(\sin\theta \right)^{2}}$

 

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$