[5분 고등수학] 삼각함수의 덧셈정리

 

 

삼각함수에서 각도의 합과 차에 대한 유용한 공식들이 있습니다. 아래 여섯가지 공식입니다. 

$\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

하나씩 유도해봅시다.

 

 

1) $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

아래와 같이 단위원을 하나 그려줍니다. 각도가 $\alpha$인 선을 하나 그려줍니다. 원과의 교점을 A라고 놓겠습니다. 

 

 

각도가 $\beta$인 선을 하나 그려줍니다. 원과의 교점을 B라고 놓겠습니다. 

 

 

A와 B의 좌표를 각도 $\alpha$와 $\beta$를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$A(\cos\alpha,\sin\alpha)$

 

$A(\cos\beta,\sin\beta)$

 

점과 점 사이의 거리를 이용하여 선분 AB의 길이를 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$\overline{AB}^{2}=\left( \cos\beta-\cos\alpha \right)^{2}+\left( \sin\beta-\sin\alpha \right)^{2}$

 

전개합시다. 

 

$\overline{AB}^{2}=\cos^{2}\beta-2\cos\beta\cos\alpha+\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\beta-2\sin\beta\sin\alpha+\sin^{2}\alpha$

 

$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$이므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\overline{AB}^{2}=2-2\cos\beta\cos\alpha-2\sin\beta\sin\alpha$

 

아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$\overline{AB}^{2}=2-2\left( \cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha \right)$

 

위 식을 저장해놓고, 아래와 같은 그림을 하나 더 그리겠습니다. 각도가 $\alpha-\beta$를 선을 그린 것입니다. 

 

A'와 B'의 좌표를 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

$A'\left( \cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta) \right)$

 

$B'(1,0)$

 

점과 점사이의 거리공식을 이용하여 선분 A'B'의 길이를 계산해줍시다. 

 

$\overline{A'B'}^{2}=\left( 1-\cos(\alpha-\beta) \right)^{2}+\left( \sin(\alpha-\beta) \right)^{2}$

 

아래와 같이 전개해줍니다. 

 

$\overline{A'B'}^{2}=1-2\cos(\alpha-\beta)+\cos^{2}(\alpha-\beta)+\sin^{2}(\alpha-\beta)$

 

사인제곱과 코사인제곱의 합이 1이므로, 아래와 같이 변형됩니다 .

 

$\overline{A'B'}^{2}=2-2\cos(\alpha-\beta)$

 

선분 AB의 길이와 A'B'의 길이는 같습니다. 한 원에서 중심각이 같은 두 호이기 때문입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$2-2\left( \cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha \right)=2-2\cos(\alpha-\beta)$

 

아래와 같이 정리해줍니다. 

 

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha$

 

코사인 합공식이 유도되었습니다. 아래와 같이 외우기 쉽게 바꿔줍니다. 

 

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

 

 

2) $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

코사인 합공식의 $\beta$ 자리에 $-\beta$를 넣어줍니다. 

 

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)$

 

$\cos(-\beta)=\cos(\beta)$ 이고, $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$이므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

 

코사인 차공식이 유도되었습니다. 

 

 

3) $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

sin과 cos 사이에는 아래 등식이 성립합니다 .

 

$\sin\theta=\cos\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)$

 

따라서 아래 등식도 성립합니다. 

 

$\sin\left( \alpha+\beta \right)=\cos\left( \frac{\pi}{2}-\left(\alpha+\beta  \right)\right)$

 

아래와 같이 변형합니다. 괄호를 다르게 씌워주었습니다. 

 

$\sin\left( \alpha+\beta \right)=\cos\left( \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right)+\beta \right)$

 

2번에서 유도한 코사인 차공식을 적용합니다. 

 

$\sin\left( \alpha+\beta \right)=\cos\left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right)\cos\beta+
\sin\left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right)\sin\beta$

 

반각원리를 적용하면 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\sin\left( \alpha+\beta \right)=\sin\alpha\cos\beta+
\cos\alpha\sin\beta$

 

사인 합공식이 유도되었습니다. 

 

 

4) $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

코사인 합공식의 $\beta$ 자리에 $-\beta$를 넣어줍니다. 

 

$\sin\left( \alpha-\beta \right)=\sin\alpha\cos\left( -\beta \right)+
\cos\alpha\sin\left( -\beta \right)$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\sin\left( \alpha-\beta \right)=\sin\alpha\cos\beta -
\cos\alpha\sin\beta$

 

사인 차공식이 유도되었습니다. 

 

 

5) $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

탄젠트는 코사인 분의 사인입니다. 

 

$\tan\left( \alpha+\beta \right)=\frac{\sin\left( \alpha+\beta \right)}{\cos\left( \alpha+\beta \right)}$

 

사인 합공식과 코사인 합공식을 적용해줍시다. 

 

$\tan\left( \alpha+\beta \right)=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$

 

분자와 분모를 $\cos\alpha\cos\beta$로 나눠줍시다. 

 

$\tan\left( \alpha+\beta \right)=
\frac{
\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}
}
{
1-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}
}$

 

아래와 같이 약분합니다. 

 

$\tan\left( \alpha+\beta \right)=
\frac{
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}
}
{
1-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}
}$

 

사인과 코사인을 탄젠트로 바꿔줍니다. 

 

$\tan\left( \alpha+\beta \right)=
\frac{
\tan\alpha+\tan\beta
}
{
1-\tan\alpha\tan\beta
}$

 

탄젠트 합공식이 유도되었습니다. 

 

6) $\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

탄젠트 합공식의 $\beta$ 자리에 $-\beta$를 넣어줍니다. 

 

$\tan\left( \alpha-\beta \right)=
\frac{
\tan\alpha+\tan\left( -\beta \right)
}
{
1-\tan\alpha\tan\left( -\beta \right)
}$

 

$\tan(\-alpha)$는 $-\tan\alpha$ 이므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\tan\left( \alpha-\beta \right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

 

탄젠트 차공식이 유도되었습니다.