[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (33) 이차함수의 최대,최소(기본)

이차함수의 최대,최소(기본)

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이차함수의 최대, 최소(기본)에 대해 공부해봅시다. 내용이 좀 많아서 기본과 심화로 나누어 놓았습니다. 먼저 이차함수 y=ax²+bx+c 는 아래와 같이 완전제곱식 형태로 변형이 가능합니다. 

y=a(x-m)²+n

a의 부호에 따라 아래 그림처럼 두가지 형태를 갖죠. a가 0보다 크면 아래로 볼록이기 때문에 꼭지점에서 최솟값을 같습니다. 최댓값은 있을까요? 무한이 커질 수 있기 때문에 최댓값은 없습니다. 

a가 0보다 작으면 위로 볼록이니까 최댓값을 갖죠? 최솟값은 없습니다. 무한히 작아질 수 있기 때문이에요. 

만약 x가 특정 범위 d<x<e 를 가지면 어떻게 될까요. 범위가 꼭지점을 포함하는지 여부에 따라 달라집니다. 먼저 범위가 꼭지점을 포함하는 경우를 생각해보죠. 아래 그림을 볼게요. a가 0 보다 큰 경우에는 꼭지점에서 최솟값을 갖습니다. 최댓값은 양 끝 범위 d와 e를 함수에 대입하여 구한 f(d) 와 f(e) 중 큰 값이 최댓값이다. a가 0보다 작은 경우는 꼭지점에서 최댓값을 갖고, f(d) 와 f(e) 중 작은 값이 최솟값입니다. 

마지막으로 x의 범위가 꼭지점을 포함하지 않는 경우를 보죠. 

가장 간단합니다. 양 끝 값인 f(d)와 f(e)중 큰 값이 최댓값이고 작은 값이 최솟값입니다. 

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