[5분 고등수학] 상용로그의 정수부분

 

 

상용로그는 밑이 10인 로그를 말합니다. 양수 N의 상용로그는 아래와 같습니다. 

$\log_{10}N$

고등수학 과정에서는 10을 생략하여 나타냅니다. 

$\log N$

이 로그의 정수부분을 n, 소수부분을 $\alpha$라고 한다면 아래와 같은 등식을 세울 수 있습니다. 

$\log N=n+\alpha \ (0 \leq \alpha <1)$

소수부분인 $\alpha$ 를 $\log a$ 로 치환하면 아래와 같은 형태로도 쓸 수 있습니다. 

$\log N=n+\log a \ (0 \leq \log a <1)$

범위를 아래와 같이 바꿔쓸 수 수 있습니다. 

$\log N=n+\log a \ (1 \leq a <10)$

오늘은 상용로그 정수부분에 대해 아래 두가지 성질을 알아볼 것입니다. 

1) $n \geq 0$ 일 때, N은 n+1 자리이다. 
2) $n < 0$ 일 때, N은 소수점 아래 $\left | n \right |$ 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. 

먼저 첫번째 성질을 알아봅시다. 

 

1) $n \geq 0$ 일 때, N은 n+1 자리이다. 

$\log N$ 의 정수부분인 n이 0보다 같거나 크다면, N은 n+1자리의 양의정수입니다. 예를들어 $\log N$ 의 정수부분이 3이라고 한다면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

$\log N=3+\alpha \  (0 \leq \alpha <1)$ 

이때 N은 4자리수가 된다는 성질입니다. 한번 증명해봅시다. 

아래 식에서 출발하겠습니다. 

$\log N=n+\log a \ (1 \leq a <10)$

n을 로그 형태로 쓰면 아래와 같습니다. 

$\log N=\log10^{n}+\log a \ (1 \leq a <10)$

우변의 두 항을 계산해줍시다. 

$\log N=\log a \cdot 10^{n} \ (1 \leq a <10)$

따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$N=a \cdot 10^{n}$

이제 N의 범위를 구할 건데요. 우리는 a의 범위를 이미 알고 있습니다. a의 범위는 아래와 같습니다 .

$1 \leq a <10$

모든 변에 $10^{n}$ 을 곱하면 $a \cdot 10^{n}$ 의 범위를 알 수 있습니다. 

$10^{n} \leq a \cdot 10^{n} < 10^{n+1}$

$a10^{n}$ 이 N이므로, N의 범위를 구한 것입니다. 

$10^{n} \leq a\cdot 10^{n} < 10^{n+1}$

n에 몇개의 수를 넣어봅시다. 

n=1, $10 \leq N <100$  → 두자리 
n=2, $100 \leq N <1000$  → 세자리 수
n=3, $1000 \leq N <10000$  → 네자리 수

이와 같은 규칙에 따라, N의 자리 수는 n+1 자리임을 알 수 있습니다. 

이번에는 두 번째 성질을 알아봅시다. 

 

2) $n < 0$ 일 때, N은 소수점 아래 $\left | n \right |$ 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

$\log N$ 의 정수부분인 n이 0보다 작다면, N은 소수점 아래 $\left | n \right |$ 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는 소수라는 말입니다. 예를들어 $\log N$ 의 정수부분이 -3이라고 한다면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

$\log N=-3+\alpha \  (0 \leq \alpha <1)$ 

이때 N은 0.00xxx 와 같이 소수점 셋째 자리에서 처음 0이 아닌 숫자가 나타나는 소수가 됩니다. 

증명해봅시다. N의 범위를 구하는 과정은 1번과 동일합니다. 

$10^{n} \leq a\cdot 10^{n} < 10^{n+1}$

n에 -1부터 몇개의 수를 넣어봅시다. 

n=-1, $0.1 \leq N <1$  → 0.xxx
n=-2, $0.01 \leq N <0.1$  → 0.0xxx
n=-3, $0.001 \leq N <0.01$  → 0.00xxx

이와 같은 규칙에 따라, N은 소수점 아래 $\left | n \right |$ 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는 소수라는 것을 알 수 있습니다.