[5분 고등수학] 합집합의 원소의 개수

 

 

집합 $A$의 원소의 개수가 $m$개, 집합 $B$의 원소의 개수가 $n$개라고 합시다. $A$와 $B$의 합집합의 원소의 개수는 몇개일까요? $m+n$ 개일까요? 그럴 수도 있고 아닐 수도 있습니다. $A$와 $B$의 교집합이 없다면 $m+n$개이고, 교집합이 있다면 $m+n$개가 아닙니다. 

 

아래 그림을 봅시다. 

 

B와 겹치지 않는 $A$의 원소의 개수를 $a$개, $A$와 겹치지 않는 $B$의 원소의 개수를 $b$, $A$와 $B$가 겹치는 부분의 원소의 개수를 $c$개라고 놓겠습니다. 

 

$A$의 원소의 개수는 $a+c$개이고, $B$의 원소의 개수는 $b+c$개입니다. A와 B의 합집합의 원소의 개수는 $a+b+c$ 개입니다. A의 원소의 개수와 B의 원소의 개수를 더하면 교집합의 원소의 개수가 중복해서 더해지기 때문에 교집합의 원소의 개수를 한번 빼주어야 합니다.

 

일반화 시키면 아래와 같습니다. 

 

$n\left ( A \cup B \right )=n\left ( A \right )+n\left ( B \right )-n\left ( A\cap B \right )$