[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (33) '모든' 또는 '어떤'이 들어 있는 명제의 참 거짓

'모든' 또는 '어떤'이 들어 있는 명제의 참 거짓

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명제에 '모든'이라는 단어가 들어있는 경우를 생각해봅시다. 예를들면 이런 명제가 있을 수 있습니다.

모든 x에 대하여 x>0 이다. 

아직 참과 거짓을 밝힐 수 없기 때문에 엄밀히 말하면 명제는 아닙니다. 조건을 추가하여 명제로 만들어 봅시다. 

전체집합 U={-1,2,3,4,5}이고 x는 U의 원소일 때,

모든 x에 대하여 x>0 이다. 

위 명제는 거짓입니다. -1이라는 반례가 있기 때문입니다. 진리집합을 구해보면 P={2,3,4,5}입니다. 만약 위 명제가 참이려면 진리집합이 전체집합과 같아야 합니다. 따라서 '모든'이 포함되어 있는 명제의 참/거짓 여부는 전체집합과 진리집합을 비교하여 구할 수도 있습니다. 

'모든'이 들어있는 명제에서,

if(전체집합 = 진리집합) → 참

if(전체집합 ≠ 진리집합) → 거짓

이번에는 '모든'을 '어떤'으로 바꿔봅시다.

전체집합 U={-1,2,3,4,5}이고 x는 U의 원소일 때,

어떤 x에 대하여 x>0 이다. 

위 명제는 참입니다. 어떤 x에 대해서 참이라는 것은, 참인 x가 적어도 하나는 있다는 말입니다. 진리집합을 구해보면 P={2,3,4,5}이므로 위 명제를 만족시키는 원소가 4개나 있습니다. '어떤'이 포함되어 있는 명제의 참/거짓 여부는 진리집합의 원소가 하나 이상만 있으면 됩니다. 진리집합이 공집합만 아니면 된다는 말입니다.

'어떤'이 들어있는 명제에서,

if(진리집합 ≠ 공집합) → 참

if(진리집합 = 공집합) → 거짓