미분과 극한 제대로 이해하기 (2) 극한의 등장

지난시간에 만들었던 직선 AB의 기울기 수식은 아래와 같습니다. 

직선 AB의 기울기 = $\frac{2ah+h^2 }{h}$

아래 그림에서 유도했습니다. 

우리는 한 가지 딜레마에 빠진 상태입니다. h가 0에 가까워져 가면 분명 기울기는 2a에 가까워져 간다는 것을 알 수 있습니다. 또한 x=a 에서 접선의 기울기가 존재한다는 것도 알 수 있습니다. 접선의 기울기는 2a 일 것입니다. 

하지만 위 식에서 h는 0일 수 없기 때문에 위 식을 이용해서 x=a 에서의 접선의 기울기를 구할 수가 없습니다. 

사람들은 함수의 극한이라는 개념을 만들어냈습니다. x가 한없이 a에 가까워질 떄 f(x) 가 한없이 L에 가까워지면, L을 극한값이라고 정의했습니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$

위 개념을 이용하면 점 A에서의 접선의 기울기를 아래와 같은 극한값으로 나타낼 수 있습니다. 

A에서의 접선의 기울기 = $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^2 }{h}$

이 극한값은 얼마일까요? h는 0이 아니므로 약분이 가능합니다. 

A에서의 접선의 기울기 = $\lim_{h\rightarrow 0}2a+h$

h가 0에 다가갈 때, 2a+h 가 다가가는 값이므로 2a가 됩니다.