[수학 1] (1-56) 지수함수를 이용한 수의 대소비교

모듈식 수학 1

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1.지수함수와 로그함수 (56) 지수함수의 대칭이동

지수형태로 되어 있는 숫자의 크기를 비교할 때, 지수함수가 사용됩니다. 지수함수가 어떻게 사용되는지 알아보기 위해 간단한 숫자 비교부터 시작해봅시다.

 

① 밑 a가 $a>1$인 수의 크기비교

아래 두 숫자 중 어느 숫자가 클까요? 

 

$3^2, 3^3$

 

9와 27이므로 $3^3$이 큽니다. 아래 두 숫자도 비교해봅시다. 

 

$3^{1.2}, 3^{1.7}$

 

오른쪽 숫자가 더 크다는 것은 쉽게 알 수 있습니다. 하지만 왜냐고 물어보면 뭐라고 해야할까요? 지수함수를 이용하면 쉽게 대답할 수 있습니다.  지수함수 $3^x$ 는 증가함수입니다. 따라서 x가 클 수록 $3^x$가 큽니다. 

 

일반화시키면 아래와 같습니다. 

 

$a>1$일 때, $x_{1}<x_{2}$ 이면 $a^{x_1}<a^{x_2}$ 이다. 

 

② 밑 a가 $0<a<1$인 수의 크기비교

아래 두 숫자 중 어느 숫자가 클까요? 

 

$\left ( \frac{1}{3} \right )^{1.2}, \left ( \frac{1}{3} \right )^{1.7}$

 

오른쪽 숫자가 더 큽니다. 이유는 지수함수를 이용하면 쉽게 알 수 있습니다.  지수함수 $\left ( \frac{1}{3} \right )^x$ 는 감소함수입니다. 따라서 x가 클 수록 $\left ( \frac{1}{3} \right )^x$가 작습니다. 

 

일반화시키면 아래와 같습니다. 

 

$0<a<1$일 때, $x_{1}<x_{2}$ 이면 $a^{x_1}>a^{x_2}$ 이다. 

 

 

*주의사항 : 수학은 단순히 외워서 풀면 반드시 망합니다. 원리를 제대로 이해해야 합니다. 자신의 이해의 여부를 확인하는 방법은 내용을 직접 설명해보는 것입니다. 설명할 수 있어야 이해한 것입니다.